8. Tableau de variations avec la fonction puissance

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un autre exercice complet de terminale. On va voir dans le détail comment faire pour étudier les variations, c'est-à-dire dresser un tableau de variation pour une fonction qui est composée avec de la puissance. Quand par exemple, on a une puissance d'un nombre entier, on se fait ça tout de suite. Les étapes pour faire les variations d'une fonction composée avec une puissance sont les mêmes que pour faire les variations d'une fonction de manière générale. C'est-à-dire, premièrement, je dérive la fonction, deuxièmement, j'étudie le signe de la dérivée et troisièmement, j'en conclus sur les variations de la fonction. Quand la dérivée est positive, c'est croissant. Quand la dérivée est négative, c'est décroissant. On va bien sûr synthétiser tout ça dans un joli tableau de variation et vu qu'on est en terminale, on ira jusqu'au bout et on mettra tout le détail des limites et tout ce qui reste.

Étape 1 : Dérivation de la fonction

Donc première étape, je dérive. Donc on le répétera jamais assez, quand vous dérivez par exemple \(3x^2\), le 3 vous n'avez pas besoin de vous en occuper, il va rester tel qu'il est. Donc, \(3x^2\) devient \(3 \times 2x\). Quand je dérive, je ne fais pas trois fois la dérivée de \(x^2\), c'est-à-dire que vous ne vous prenez pas la tête avec le 3, il est là, il reste ici. Donc je dérive \(x^2\), donc j'ai trois fois la dérivée de \(x^2\). Vu que vous avez vu une vidéo et fait nos exercices, vous savez que c'est une puissance \(n\). Donc la dérivée de ça, ça va être \(n \times x^{n-1}\). Donc ça va être \(2x^{2-1}\), donc \(2x\). La dérivée de ça, c'est \(2x\). Du coup, on a \(3 \times 2x\), soit \(6x\). Et vous savez quoi, on aurait pu mettre 27 et 26, ça ne changerait rien.

Étape 2 : Étude du signe de la dérivée

Maintenant, on étudie le signe de la dérivée qui est sous la forme d'un produit. C'est magnifique, ça veut dire que je vais pouvoir faire un tableau avec une ligne pour chacun des termes de la fonction. Avec ça, ensuite, j'appliquerai la règle des signes. Donc je fais un tableau, ma première ligne est \(x\), ma deuxième ligne est \(42x\), et ma troisième ligne est \(x^2 + 7^6\). Et je commence par \(x\). Où est-ce qu'ils se baladent ? On veut étudier sur \(R\), donc si on utilise \(R\), c'est-à-dire qu'il va de moins l'infini jusqu'à plus l'infini. Deuxièmement, quel est le signe de \(42x\) ? \(42\) est un nombre positif, donc le signe de \(42x\) sera le même que le signe de \(x\). \(x\) va définir qui va être décidé du signe. Or le signe de \(x\) est la chose la plus simple à étudier du monde. \(x\) avant \(0\) est négatif, à \(0\) ça vaut \(0\) et après \(0\) c'est positif. C'est aussi simple que ça. Il n'y a plus qu'à étudier ce truc là. Ce truc là, je sais que quoi qu'il arrive, ce sera positif. Pourquoi ? Parce que j'ai quelque chose à la puissance \(6\). Quelque chose à la puissance d'un nombre pair, ça sera toujours positif ou nul. Donc, ça sera jamais négatif. En plus de ça, \(x^2 + 7\) c'est toujours strictement positif, c'est plus grand que \(0\). Donc ce sera jamais nul. Donc vous avez un truc qui est soit positif, soit nul, mais qui n'est jamais nul. Si je vous dis, vous êtes soit bleu, soit rouge, mais vous n'êtes jamais rouge, eh bien vous êtes bleus. Si je suis soit positif, soit nul, mais qui n'est jamais nul, je suis positif. Et c'est vrai que de manière générale, je suis toujours positif.

Étape 3 : Conclusion sur les variations de la fonction

Voilà, une petite ligne avec \(R\), on met ici, on tire une ici parce que \(42\) fois ça, ça fait zéro. Tout positif du coup, ça me fait zéro. Ensuite, avec des signes, \(-\) par \(+\) donne \(-\), \(+\) par \(+\) donne \(+\). C'est une facilité, c'est incroyable. Avec ça, ça monte, ça descend. \(f(x)\), il me manque mes limites. Si \(x\) vaut \(0\), \(f(x)\) vaut \(3 \times 7^8\). Vous pouvez le calculer à la calculatrice, ça vous donnera un truc assez balèze. Je m'en fiche complètement, les deux sont valides, vous faites comme vous voulez. Moi, je trouve que \(3 \times 7^8\) c'est joli. Ça, c'est votre place. Les deux limites, si ma limite en plus l'infini, ça fait plus l'infini. Plus l'infini plus est, ça fera toujours plus l'infini. À la puissance \(8\), ça fera toujours plus l'infini. Et trois fois plus l'infini, ça fera encore et toujours plus l'infini. Donc là, j'ai plus l'infini. Je recommence avec \(-\). La fille \(-\), ça fait plus l'infini. Donc, ça fait plus l'infini. Plus l'infini à la puissance \(8\), plus l'infini. Plus l'infini fois \(3\), ça fait plus l'infini. On regarde comme c'est joli, plus l'infini. Je parle d'un truc qui monte, ça descend jusqu'à un truc moyennement grand, puis je remonte jusqu'à un truc immensément grand. Mon tableau, il a les limites, les valeurs ici, les flèches, il est complet. C'est terminé. Attention, une petite subtilité. Jusqu'à présent, on a traité que les cas où on avait un produit. Donc, quand vous avez un zéro ici ou ici, ça ne change rien, vous mettez un zéro là. En effet, que ça soit lui ou lui qui soit nul, ça aura toujours comme résultat que l'ensemble sera nul. Donc, si j'avais eu un zéro là, je mettrais un zéro ici. Quand c'est un quotient, c'est-à-dire comme dans la vidéo qui va suivre, c'est plus compliqué parce que si la fonction est nulle au numérateur ou au dénominateur, on ne se tape pas du tout les mêmes embrouilles. Mais ne précipitons pas les choses. Commencez par faire les petits exercices qu'on vous a mis en dessous et ensuite on se fait la même chose avec cette fois-ci une fonction inverse, donc le début des ennuis. À vous de jouer, vous êtes des machines.