Analyse du Contrôle de Maths Complémentaires : Dérivation et Études de Fonctions

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale, spécialité Maths Complémentaires, est une excellente évaluation des compétences liées aux chapitres sur la dérivation et les études de fonctions. D'une durée d'une heure, il se compose de trois exercices complets qui balayent des applications concrètes des notions du programme : problème d'optimisation, modélisation avec la fonction exponentielle, et application du théorème des valeurs intermédiaires. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Exercice 1 : L'affiche la plus économe (Problème d'optimisation)

Cet exercice est un grand classique des problèmes d'optimisation. L'objectif est de trouver les dimensions d'une affiche qui minimisent la surface totale de papier, tout en respectant une aire d'impression fixe. C'est une application directe de l'étude des variations d'une fonction.

• Mise en équation : La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage mathématique. La zone imprimée a une aire de 600 cm². Si l'affiche a pour dimensions \(x\) et \(y\), les dimensions de la zone imprimée sont \((x-4)\) et \((y-6)\) à cause des marges. On a donc l'équation : \((x-4)(y-6) = 600\). On en déduit l'expression de \(y\) en fonction de \(x\) : \(y = 6 + \frac{600}{x-4}\).
• Expression de l'aire à optimiser : L'aire totale de la feuille est \(S(x) = x \times y\). En remplaçant \(y\) par son expression, on obtient, après développement, la fonction à étudier : \(S(x) = x(6 + \frac{600}{x-4}) = 6x + \frac{600x}{x-4}\). Pour arriver à la forme demandée, \(S(x) = 6x + 600 + \frac{2400}{x-4}\), on utilise une astuce d'écriture : \(600x = 600(x-4+4) = 600(x-4) + 2400\).
• Calcul de la dérivée : Pour étudier les variations de \(S\), on calcule sa dérivée \(S'(x)\). La dérivation de \(\frac{1}{u}\) est \(-\frac{u'}{u^2}\). On trouve : \(S'(x) = 6 - \frac{2400}{(x-4)^2}\). En mettant tout au même dénominateur, on retrouve bien l'expression fournie : \(S'(x) = \frac{6(x-4)^2 - 2400}{(x-4)^2} = \frac{6[(x-4)^2 - 400]}{(x-4)^2}\).
• Tableau de variations : L'étude du signe de \(S'(x)\) se ramène à l'étude du signe du polynôme du second degré \((x-4)^2 - 400\). On résout \((x-4)^2 - 400 = 0 \implies (x-4)^2 = 400 \implies x-4 = \pm 20\). La solution pertinente dans l'intervalle \([10; 50]\) est \(x = 24\). On dresse alors le tableau de signe de la dérivée, qui nous donne le tableau de variations de \(S\). La fonction est décroissante puis croissante, admettant un minimum en \(x=24\).
• Conclusion : Le minimum de la fonction \(S\) donne la surface de papier minimale. On calcule les dimensions \(x=24\) cm et la valeur de \(y\) correspondante pour répondre à la question.

Exercice 2 : Rembourser un emprunt (Étude d'une fonction exponentielle)

Cet exercice de modélisation financière utilise une fonction exponentielle pour décrire l'évolution du capital restant dû d'un emprunt. Il met en œuvre le calcul de dérivée de fonction exponentielle et le théorème des valeurs intermédiaires.

• Analyse de la fonction : La fonction étudiée est \(D(t) = 225 - 75e^{0,04t}\) sur l'intervalle \([0; 30]\). Des calculs simples comme \(D(0) = 150\) (le capital initial emprunté) et \(D(10)\) permettent de se familiariser avec le modèle et d'interpréter les résultats concrets.
• Dérivée et sens de variation : Le calcul de la dérivée est une application directe de la formule \((e^{u})' = u'e^{u}\). On obtient \(D'(t) = -75 \times 0,04 \times e^{0,04t} = -3e^{0,04t}\). La fonction exponentielle étant toujours strictement positive, la dérivée \(D'(t)\) est toujours strictement négative. Par conséquent, la fonction \(D(t)\) est strictement décroissante sur \([0; 30]\), ce qui est cohérent avec un capital restant dû qui diminue avec le temps.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : La question de savoir quand le prêt sera entièrement remboursé revient à résoudre l'équation \(D(t) = 0\). Pour justifier l'existence d'une unique solution \(t_0\), on utilise le corollaire du TVI. La fonction \(D\) est continue, strictement décroissante sur \([0; 30]\), avec \(D(0) = 150 > 0\) et \(D(30) \approx -22.7 < 0\). L'équation \(D(t)=0\) admet donc une unique solution \(t_0 \in [0; 30]\).
• Approximation de la solution : À l'aide de la calculatrice, on utilise la fonction tableur pour trouver un encadrement de \(t_0\) par deux entiers consécutifs, en cherchant le changement de signe pour \(D(t)\).

Exercice 3 : Après le repas (Étude d'une fonction produit et Algorithmique)

Le dernier exercice modélise la glycémie après un repas à l'aide d'une fonction faisant intervenir un produit et une exponentielle. Il évalue la maîtrise de la dérivation d'un produit et se termine par une question d'algorithmique en Python.

• Dérivée d'un produit : La fonction est \(G(t) = 1 + 1,2te^{-t}\). Pour la dériver, on doit appliquer la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\) à la partie \(t \mapsto te^{-t}\). Après calcul, on obtient \(G'(t) = 1,2(1-t)e^{-t}\).
• Tableau de variations : Le signe de \(G'(t)\) ne dépend que du signe de \(1-t\) car \(1,2e^{-t}\) est toujours positif. La fonction \(G\) est donc croissante sur \([0; 1]\) et décroissante sur \([1; 6]\), atteignant un pic de glycémie au bout d'une heure.
• Application du TVI : Comme dans l'exercice précédent, on utilise le corollaire du TVI pour justifier que l'équation \(G(t) = 1,1\) (la glycémie redescend à un certain seuil) admet une solution unique \(\alpha\) sur l'intervalle \([1; 6]\), où la fonction est continue et strictement monotone.
• Algorithme Python : La fin de l'exercice propose de compléter un algorithme de recherche par balayage. La fonction `seuil` doit trouver la première valeur de \(t\) (à partir de 1) pour laquelle \(G(t) \le 1,1\). Il faut donc compléter la boucle `while` avec la condition contraire, c'est-à-dire `while G(t) > 1.1:`, et la ligne d'incrémentation `t = t + pas`. L'exécution de cet algorithme avec différents pas permet d'approcher la valeur de \(\alpha\).

En conclusion, ce sujet de maths de terminale est très complet. Il vérifie des compétences techniques de dérivation (quotient, produit, exponentielle), la capacité à dresser et exploiter un tableau de variations, la compréhension et l'application du théorème des valeurs intermédiaires, ainsi que des notions d'algorithmique. C'est un excellent entraînement pour le baccalauréat de maths complémentaires.