7. Les équations de complexe à conjugué

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons étudier les équations complexes où intervient un conjugué, c'est-à-dire des équations complexes où il y a un \( \overline{Z} \) quelque part dans l'équation. Pour résoudre ce type d'équation, que nous avons catalogué dans notre fiche comme le deuxième type d'équation, probablement le deuxième plus difficile à résoudre, il y a une technique qu'il faut connaître absolument par cœur. C'est la technique de la séparation de \( Z \) en une partie réelle et une partie imaginaire.

Technique de résolution

Si vous avez une équation du type \( 3\overline{Z} + iZ = -2 \), la solution est soit donnée par l'énoncé, soit vous devez la trouver vous-même. À un moment donné, vous devez poser \( Z = X + iY \), c'est-à-dire rappeler que \( Z \) est un nombre complexe doté d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Ensuite, vous intégrez cette notation à la place de \( Z \) dans l'équation. Vous vous retrouvez alors avec \( 3\overline{X + iY} + i(X + iY) = -2 \). Le but est maintenant de passer tout du même côté et d'isoler les parties réelles et les parties imaginaires.

Application de la technique

En développant, on obtient \( 3X - 3iY + iX - Y = -2 \). En passant le -2 de l'autre côté, on obtient \( 3X - Y + 2 + i(-3Y + X) = 0 \). On trie ensuite les parties réelles et les parties imaginaires. On obtient donc un système d'équations : \( 3X - Y + 2 = 0 \) et \( -3Y + X = 0 \). En résolvant ce système, on trouve \( X = 3Y \) et \( Y = -1/4 \). On obtient donc \( X = 3(-1/4) = -3/4 \). Enfin, on peut dire que notre nombre complexe \( Z \) vaut \( X + iY \), soit \( -3/4 - i/4 \). Pour vérifier, on remplace \( Z \) par cette valeur dans l'équation initiale et on vérifie que cela donne bien 0.

Conclusion

En faisant cela, on est sûr de ne pas avoir laissé d'erreur. Il y a plein d'exercices juste en dessous avec plein de petites équations comme celle-ci à résoudre le plus rapidement possible. À vous de jouer, vous êtes des champions !