2. Reconnaître la partie réelle et la partie imaginaire

Introduction

Allez les amis, on est parti pour la première base de toutes les compétences sur les nombres complexes : comment reconnaître la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe et surtout qu'est-ce que c'est ? On se fait ça tout de suite.

Comprendre les nombres complexes

Pour pouvoir traiter la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe, il faut comprendre qu'un nombre complexe, plutôt que de s'écrire tout simplement par exemple \(x = 3\) ou \(X = 5\) ou \(X = Y + 2\pi^2\), va être en fait deux nombres, genre par exemple 4 et 5, un qui va être multiplié par \(i\) et l'autre qui ne va pas être multiplié par \(i\), avec une somme au milieu. Donc en fait, un nombre complexe c'est l'assemblage d'une partie où il y a \(i\) et d'une partie où il n'y a pas de \(i\). La partie où il n'y a pas de \(i\) on va l'appeler la partie réelle et la partie où il y a un \(i\) on va l'appeler la partie imaginaire.

Subtilités des nombres complexes

Première subtilité, la partie imaginaire, c'est-à-dire la partie où il y a le \(i\), on la prend sans le \(i\). Donc aussi bizarre que ça puisse paraître, la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel. Je répète, la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel. Du coup, si je vous demande par exemple la partie imaginaire du petit \(a\) qui est \(Z = 3 + 2i\), le premier qui me répond que sa partie imaginaire c'est \(2i\), je le jette par la fenêtre. Pourquoi ? Parce que sa partie imaginaire, c'est surtout pas \(i\), c'est ce qu'il y a devant \(i\) et c'est 2. Comment est-ce qu'on note ça ? Et bien, la partie imaginaire on la note \(\text{Im}(Z)\) et la partie imaginaire de \(Z\) est tout simplement 2. La partie réelle de \(Z\), qu'on note \(\text{Re}(Z)\), c'est tout simplement 3. Attention, ne vous laissez pas avoir, ce n'est pas grave si on l'appelle \(Z\). La plupart des nombres complexes, on aurait pu les appeler \(x\), on aurait pu les appeler \(y\), on aurait pu les appeler \(Z\). La convention veut qu'en général, quand on parle d'un nombre complexe, on le note avec la forme \(Z\).

Exemples de nombres complexes

Mon deuxième nombre complexe c'est \(Z = 3i - 1\). Je connais ma fiche, je l'ai sous les yeux, je sais qu'un nombre complexe ça s'écrit \(a + iB\). Donc, la partie réelle de mon nombre c'est -1 et la partie imaginaire c'est 3. Si je vous écris \(Z = 1\), votre premier réflexe c'est de me dire : "écoute, \(Z = 1\) c'est pas un nombre complexe, c'est un nombre réel". Et moi je vous réponds : "mais attendez, tous les nombres réels sont des nombres complexes". Donc en fait, mon \(Z = 1\) c'est un nombre complexe. Je peux écrire ça \(Z = 1 + 0i\). Donc ce nombre complexe, si on veut vraiment faire les malins, on va dire que c'est un réel pur. Sa partie réelle c'est 1 et sa partie imaginaire c'est 0.

Conclusion

Faites attention, tous les nombres réels sont des nombres complexes, ce qui n'est pas le cas dans l'autre sens. Tous les nombres complexes ne sont pas des réels. Par exemple, le dernier \(Z = 2i\) c'est \(0 + 2i\). Donc ce nombre là, il va avoir une partie réelle qui vaut 0 et une partie imaginaire qui vaut 2. En attendant, il y a des petits exercices un peu pernicieux juste en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.