5. Mettre un quotient de nombres complexes sous forme algébrique grâce au conjugué

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir l'exercice classique : comment est-ce que je fais pour donner la forme algébrique d'un nombre complexe quand j'ai du \(i\) au dénominateur ? C'est l'enfer et on va régler ça grâce à la méga technique du conjugué. On se fait ça tout de suite.

La technique du conjugué

La technique du conjugué est une technique que vous allez finir par apprécier parce que vous allez la reconnaître tout de suite. C'est quand j'ai un \(3 - 2i\) sur \(1 - 2i\), autrement dit quand j'ai du \(i\) au dénominateur. Pour faire ça, franchement, il y a qu'un seul moyen et ce moyen, il faut l'apprendre par cœur. C'est de dire : je vais multiplier le haut et le bas par le conjugué du dénominateur, donc par ici \(1 + 2i\). Si vous ne savez pas ce qu'est le conjugué, allez voir la petite compétence précédente, vous allez le retrouver tout de suite. Pourquoi est-ce que je fais ça ? Déjà, premièrement, est-ce que j'ai le droit ? Parce que j'ai le droit de prendre un nombre genre \(3/2\) et de multiplier en haut et en bas par \(5\). C'est un truc que vous faisiez tout simplement quand vous vouliez mettre des nombres au même dénominateur. Donc ça, j'ai le droit. Pourquoi je le fais ? Ah ben pour une raison très simple, c'est que quand je vais développer \(1 - 2i \times 1 + 2i\), je reconnais une identité remarquable \(a - b \times a + b\) et vous savez que quand vous multipliez \(a - b\) par \(a + b\), ça fait \(a² - b²\).

Application de la technique du conjugué

Donc je sais déjà qu'au dénominateur je vais avoir \(a²\), donc \(1²\), moins \(b²\), donc mon \(b\) était \(2i\). Donc \(1² - 2i²\) ça me fait \(1 - 4\), donc je me retrouve avec au dénominateur un chiffre \(5\). En faisant ça, j'ai fait sauter les \(i\) en bas. Maintenant, regardez, je développe le haut : \(3 \times 1 = 3\), \(3 \times 2i = 6i\), \(-2i \times 1 = -2i\) et \(-2i \times 2i = +4\) parce que les \(i\) vont faire un carré qui va faire \(-1\) avec ce moins, ça va faire \(+4\). Et je me retrouve avec \(3 + 4 = 7\), \(6i - 2i = 4i\) divisé par \(5\). Et là, si je veux donner sa forme algébrique, j'ai juste à le séparer au niveau de la somme : \(7/5 + 4/5 \times i\). Et j'ai bien une forme algébrique puisque j'ai \(a + i \times b\), donc la partie réelle vaut \(7/5\) et la partie imaginaire vaut \(4/5\), et surtout pas \(4/5\) de \(i\), vous ne faites pas cette erreur. Vous avez vu la compétence, vous avez plein d'exercices en dessous, c'est que du plaisir. Allez, vous jouez, vous êtes des champions.