4. Déterminer le conjugué d'un nombre complexe

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment traiter des problèmes où on vous demande le conjugué d'un nombre complexe. Qu'est-ce que c'est que le conjugué d'un nombre complexe ? On se fait ça tout de suite.

Conjugué d'un nombre complexe

Pour trouver le conjugué d'un nombre complexe, vous regardez sur votre fiche et c'est extrêmement simple. Le conjugué de \(Z\) ça se note \(\bar{Z}\) et plutôt que d'avoir \(a + ib\), je vais écrire \(a - ib\). Vous l'avez peut-être déjà traité en réalité dans des problèmes pour lever des formes indéterminées en limite si vous avez fait les limites avant. En fait, la forme conjuguée c'est un truc qu'on faisait beaucoup avec les racines genre \(\sqrt{3x} + 2\sqrt{5x}\). C'est le conjugué de cette valeur là, c'était juste \(\sqrt{3x} + 2 + \sqrt{5x}\). Donc en fait, quand on a une somme, conjuguer la somme ça peut parfois vouloir dire changer le signe de l'opération qu'il y a entre les deux objets de la somme. Donc la conjugaison d'un nombre complexe c'est juste changer le signe entre la partie réelle et la partie imaginaire.

Exemples

Si j'ai des nombres complexes qui sont extrêmement simples comme le premier genre \(Z = 3 + 2i\), je peux répondre sans hésitation que mon \(\bar{Z}\) c'est \(3 - 2i\). J'ai transformé mon \(+ 2i\) en \(- 2i\). Attention, si j'avais un \(Z\) qui valait \(2i + 3\), le conjugué ça n'aurait surtout pas été \(\bar{Z} = 2i - 3\). Non, le conjugué c'est premièrement je l'écris sous forme \(a + ib\), ensuite je change le signe de la partie imaginaire. Du coup, si j'ai \(2i + 3\), je vais dire que c'est \(3 + 2i\) et le conjugué ça va être \(3 - 2i\). Donc attention, avant de conjuguer on s'assure bien qu'on soit sous une forme algébrique dans l'ordre, c'est-à-dire la partie réelle plus \(i\) la partie imaginaire. 2ème cas, si j'ai \(Z\) qui vaut \(3 - 2i^2\), vous n'allez surtout pas me dire ça serait beaucoup trop simple que \(\bar{Z}\) c'est \(3 + 2i^2\). Non, pourquoi ? Parce que pour que vous puissiez faire la forme conjuguée, il faut que votre nombre soit bien sous forme algébrique. Donc la première étape ça va être de prendre ce \(3 - 2i^2\) et de le mettre sous forme algébrique. Comment je fais ça ? Bah on l'a fait dans la compétence précédente, je vais le développer. Ça c'est \(a - b^2\) et quand je développe ça, ça va me faire \(3^2 - 2 \times 3 \times 2i + 2^2\). Vous reconnaissez une forme \(a^2 - 2ab + b^2\). Ça fait \(9 - 12i + 4\). Donc \(9 - 4\) ça me fait \(5 - 12i\). Je vérifie bien que j'ai la partie réelle puis la partie imaginaire, c'est bon. Du coup ma forme conjuguée c'est \(\bar{Z} = 5 + 12i\). 3ème cas, qu'est-ce qui se passe si j'ai \(Z\) qui vaut \(i - \frac{5}{2}\) ? En général, vous êtes un peu tétanisé par le fait qu'il y a un \(\frac{1}{2}\). Donc moi je vous rappelle que \(i - \frac{5}{2}\) c'est comme si vous aviez \(\frac{1}{2}(2i - 5)\). Donc \(\frac{1}{2}i - \frac{5}{2}\). Je m'assure bien d'avoir non pas une forme \(bi + a\) mais une forme \(a + ib\). Donc je vais l'écrire en inverse, donc ça me fait \(-\frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\). Maintenant j'ai bien une forme, une partie réelle plus \(i\) fois une partie imaginaire et je vais juste changer le signe qui est là. Donc le conjugué de \(Z\), \(\bar{Z}\), ça vaudra \(-\frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\). C'est simple, c'est très utile, vous allez le retrouver partout. On vous a mis une tripotée d'exercices en dessous avec un clavier pour que ça soit facile à taper. À vous de jouer, vous êtes des champions.