Analyse du sujet de contrôle - Nombres Complexes (Forme Algébrique)

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Expert se concentre sur la manipulation algébrique des nombres complexes. Il est composé de deux exercices qui balayent les compétences fondamentales du chapitre, notamment la résolution d'équations polynomiales dans l'ensemble des complexes et l'étude des propriétés des formes algébriques.

Ce sujet est un excellent entraînement pour maîtriser les calculs de base, la résolution d'équations du second degré à discriminant négatif, et des problèmes plus théoriques impliquant les parties réelle et imaginaire ou les propriétés du conjugué.

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynomiale complexe

Le premier exercice s'articule autour de la fonction f définie sur ℂ par f(z) = z² + 2z + 9. Il teste plusieurs compétences clés :

• Calcul d'image : La première question demande de calculer f(-1 + i√3). Cela nécessite de savoir développer le carré d'un nombre complexe et de le mettre sous sa forme algébrique a + ib.
• Équation du second degré : La deuxième question consiste à résoudre l'équation f(z) = 5, qui se ramène à z² + 2z + 4 = 0. C'est une application directe de la méthode de résolution des équations du second degré dans ℂ, avec le calcul du discriminant Δ qui s'avère négatif.
• Discussion avec un paramètre réel : La troisième question introduit un paramètre réel λ et demande de trouver les valeurs de λ pour lesquelles l'équation f(z) = λ admet deux solutions complexes conjuguées non réelles. Il s'agit d'étudier le signe du discriminant de l'équation z² + 2z + (9 - λ) = 0 en fonction de λ.
• Forme algébrique et conditions sur z : La dernière question demande d'abord d'exprimer f(z) en fonction de la partie réelle x et de la partie imaginaire y de z. Ensuite, il faut utiliser ce résultat pour trouver l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un nombre réel, ce qui revient à annuler sa partie imaginaire.

Exercice 2 : Résolution d'une équation bicarrée

Le second exercice propose de résoudre l'équation bicarrée z⁴ + 4z² + 16 = 0. La résolution est guidée par plusieurs étapes :

• Changement de variable : La première question invite à poser Z = z² pour se ramener à une équation du second degré : Z² + 4Z + 16 = 0. La résolution de cette équation intermédiaire est la première étape cruciale.
• Calcul de racines carrées : Une fois les solutions Z₁ et Z₂ trouvées, l'exercice guide le calcul des racines carrées de l'une d'elles. En calculant (1 + i√3)², on trouve l'une des solutions Z, ce qui permet de résoudre facilement l'équation z² = Z₁.
• Utilisation des propriétés du conjugué : L'exercice fait démontrer une propriété fondamentale des polynômes à coefficients réels : si z est une solution, alors son conjugué z̄ est aussi solution. Cette propriété, combinée au fait que les solutions Z₁ et Z₂ sont conjuguées, permet de déduire astucieusement toutes les solutions de l'équation initiale sans calculs supplémentaires.

Ce contrôle corrigé est un excellent outil pour les élèves de Terminale avec la spécialité Mathématiques Expertes qui souhaitent s'entraîner sur la forme algébrique des nombres complexes, les équations et les raisonnements associés.