Analyse du Contrôle de Mathématiques : Nombres Complexes (Terminale Maths Expertes)

Ce sujet de contrôle pour la Terminale, spécialité Mathématiques Expertes, est centré sur le chapitre des nombres complexes, et plus particulièrement sur leurs aspects algébriques. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue la capacité des élèves à manipuler les différentes formes des nombres complexes, à résoudre des équations et à appliquer ces notions à des suites numériques. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre chaque étape des raisonnements attendus.

Exercice 1 : Manipulation de la forme algébrique (9 points)

Cet exercice teste les compétences fondamentales sur l'écriture et les propriétés algébriques des nombres complexes.

• Question 1 : Il s'agit de déterminer la forme algébrique \(a+ib\) de trois nombres. Pour \( z_1 = -i \times (5i - 4) \), on utilise la distributivité et la propriété \(i^2 = -1\). Pour \( z_2 = (1 - i)^3 \), l'utilisation d'une identité remarquable ou le développement direct est requis. Enfin, pour \( z_3 = \frac{2i - 1}{2 - 4i} \), la méthode consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir un dénominateur réel.
• Question 2 : Cette question demande de prouver qu'une expression est un imaginaire pur. Pour montrer que \( \frac{z^2 - \bar{z}^2}{z\bar{z} + 3} \) est un imaginaire pur, la méthode la plus efficace est de poser \( z = x + iy \) et de calculer la partie réelle de l'expression, qui doit être nulle. On utilise les propriétés \( z\bar{z} = |z|^2 = x^2+y^2 \) et \( z^2 - \bar{z}^2 = (z-\bar{z})(z+\bar{z}) = (2iy)(2x) = 4ixy \).
• Question 3 : L'objectif est de montrer que \( (1 + i)^{17} + (1 - i)^{17} \) est un nombre réel. L'astuce consiste à reconnaître que \( 1-i \) est le conjugué de \( 1+i \). En posant \( Z = (1+i)^{17} \), l'expression devient \( Z + \bar{Z} \). Or, pour tout nombre complexe \(Z\), la somme \( Z + \bar{Z} = 2 \text{Re}(Z) \) est toujours un nombre réel.

Exercice 2 : Résolution d'équations dans ℂ (8 points)

Ce deuxième exercice aborde un point central du chapitre : la résolution d'équations dans l'ensemble des nombres complexes. Différents types d'équations sont proposés.

• Équations linéaires (1, 4, 5) : Les équations comme \( (1 + 2i)(z - 3i) = z + 2 + 3i \) sont des équations du premier degré en \(z\). La stratégie est d'isoler l'inconnue \(z\) en développant et en regroupant les termes, puis de finaliser le calcul en utilisant la technique du conjugué si \(z\) est multiplié par un coefficient complexe.
• Équations du second degré (2, 3) : La résolution de \( z^2 = -49 \) est directe en remarquant que \( -49 = (7i)^2 \). Pour l'équation \( 2z^2 + 2z + 1 = 0 \), qui est une équation polynomiale à coefficients réels, on calcule le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). Comme \( \Delta < 0 \), les solutions sont deux nombres complexes conjugués.
• Équation avec conjugué (6) : L'équation \( z^2 - 2\bar{z} + 1 = 0 \) (en supposant une correction de la coquille de l'énoncé) fait intervenir le conjugué \( \bar{z} \). La méthode de résolution impose de poser \( z = x + iy \), de substituer dans l'équation et de séparer les parties réelle et imaginaire. On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) à résoudre.

Exercice 3 : Suites de nombres complexes (3 points)

Cet exercice fait le lien entre les nombres complexes et le chapitre sur les suites. Il s'agit d'étudier une suite arithmético-géométrique dans \(\mathbb{C}\).

• Question 1 : On étudie la suite \((z_n)\) définie par \( z_{n+1} = \frac{1}{3}z_n + \frac{2}{3}i \). Pour déterminer sa nature, on introduit une suite auxiliaire \( u_n = z_n - i \). Le but est de prouver que \((u_n)\) est une suite géométrique en calculant le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \).
• Question 2 : Une fois que l'on a montré que \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \( q = 1/3 \), on détermine son premier terme \( u_0 = z_0 - i \). On peut alors écrire l'expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\) : \( u_n = u_0 \times q^n \). Finalement, on en déduit l'expression de \(z_n\) grâce à la relation \( z_n = u_n + i \).