9. Trouver x et y tels que z soit un réel pur

Introduction

Allons-y, mes amis, nous allons aborder la première compétence difficile de ce chapitre : comment trouver un \(Z\) tel qu'un autre \(Z\) soit un réel pur. C'est compliqué, mais c'est faisable.

Comprendre le problème

Pour trouver les valeurs de \(Z\) telles que \(Z'\) soit un nombre réel pur, il faut bien comprendre quelque chose. Premièrement, qu'est-ce que c'est que cette histoire de \(Z' = \frac{1 - \overline{Z}}{\overline{Z}}\)? En fait, vous avez l'habitude de prendre des \(X\) et de les transformer, par exemple en faisant cela, sauf que vous ne l'appelez pas \(X'\), vous l'appelez \(f(X)\). Donc, il faut vraiment que vous voyiez cette opération là comme la transformation d'un \(Z\) en un \(Z'\) en utilisant la formule qui est donnée ici. Le problème, c'est que ça veut dire quoi \(Z'\) est un réel pur? Notre \(Z'\), ce qui est sûr, c'est que je peux l'écrire sous une forme algébrique. Donc, il doit y avoir moyen de l'écrire comme quelque chose plus \(i\) fois quelque chose. Et maintenant, si ce truc est un réel, genre 3, genre 4, genre \(\pi\), genre 52, je n'en sais rien, ce qui est sûr, c'est que j'ai aucune condition là-dessus, mais je sais que ce truc, ça vaut zéro nécessairement. La partie imaginaire de \(Z'\) vaut 0 si \(Z'\) est un réel.

Transformation de Z en Z'

Donc, ce qu'on va faire, c'est qu'on va essayer d'exprimer \(Z'\) comme quelque chose plus \(i\) fois quelque chose. Mais en l'état, c'est impossible. J'ai \(\overline{Z}\) sur \(1- \overline{Z}\), comment voulez-vous arriver à exprimer quoi que ce soit? Ce qu'on va faire, c'est qu'on va dire que \(Z\), tout ce qu'on sait à son propos, c'est que lui aussi, il a une forme algébrique et sa partie réelle, on va l'appeler \(X\) et sa partie imaginaire, on va l'appeler \(Y\). Si on remplace dans l'expression de \(Z'\), \(\overline{Z}\) devient \(X - iY\) et \(1 - \overline{Z}\) devient \(1 - X + iY\). Ensuite, on va trier légèrement le dénominateur en mettant le \(1 - X\) ensemble et en distribuant le moins sur le \(iY\) pour qu'il devienne plus \(iY\). Ensuite, on va multiplier par le conjugué pour virer le \(i\) en bas et avoir la forme algébrique d'un nombre. Après quelques manipulations, on obtient que \(Z' = \frac{X - X^2 - Y^2}{(1 - X)^2 + Y^2} + i \frac{Y}{(1 - X)^2 + Y^2}\).

Conclusion

Maintenant, l'énoncé nous dit que nous voulons que \(Z'\) soit un réel. Pour que cela soit un réel, la partie imaginaire doit être nulle, donc \(Y = 0\). Autrement dit, pour que \(Z'\) soit un réel, il faut que dans \(Z\) initial, la partie imaginaire soit nulle. Autrement dit, il faut que notre nombre \(Z\) soit un réel aussi. Donc, l'ensemble des points \(Z\) tels que \(Z'\) soit un réel est l'ensemble des \(Z\) qui sont des réels. Il y a plein d'exercices en dessous pour vous entraîner, et un encore plus compliqué qui arrive après avec la partie imaginaire. À vous de jouer, vous êtes des champions!