Téléchargez et entraînez-vous avec ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde. Ce document complet d'une heure, avec calculatrice autorisée, porte sur les chapitres fondamentaux des vecteurs, des fonctions affines et de la résolution d'équations. C'est une ressource idéale pour réviser et se préparer efficacement à une évaluation. Chaque exercice est conçu pour tester des compétences spécifiques et essentielles du programme de Seconde.
Ce contrôle corrigé vous permettra de vous familiariser avec le type de questions posées en examen et de renforcer votre maîtrise des notions suivantes :
- Manipulation graphique et analytique des vecteurs.
- Développement d'expressions algébriques à l'aide des identités remarquables.
- Résolution d'équations variées (produit-nul, quotient).
- Étude complète d'une fonction affine (de la détermination de son expression à sa représentation graphique).
Exercice 1 : Construction de points avec les vecteurs
Cet exercice est une application directe des opérations sur les vecteurs dans un repère. À partir de points A, B, C, D et de vecteurs de base \(\vec{t}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) donnés graphiquement, il vous est demandé de construire de nouveaux points F, G, H et J. Ces constructions se font en appliquant des égalités vectorielles, ce qui implique de maîtriser :
- La somme et la soustraction de vecteurs (construction du point image par une translation).
- La multiplication d'un vecteur par un nombre réel (colinéarité, changement de longueur et de sens).
Les égalités à utiliser sont :
- \(\vec{AF} = 2\vec{v} + \vec{t} + \vec{w}\)
- \(\vec{BG} = -\vec{w} + 3\vec{u} - \vec{t}\)
- \(\vec{CH} = -4\vec{t} - \vec{v} + 2\vec{w}\)
- \(\vec{DJ} = \vec{t} - 2\vec{v} + \vec{w}\)
Cet exercice évalue votre capacité à interpréter et à appliquer graphiquement des combinaisons linéaires de vecteurs.
Exercice 2 : Développement et résolution d'équations
Ce deuxième exercice se divise en deux parties clés du calcul algébrique.
La première partie porte sur le développement et la réduction d'expressions. Vous devrez utiliser les identités remarquables pour développer :
- \( A = (\frac{1}{2} - 6x)^2 \), qui correspond à l'identité \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- \( B = 1 - (4y-1)(4y+1) \), qui utilise l'identité \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
La seconde partie est consacrée à la résolution d'équations. Plusieurs types d'équations sont proposés pour tester votre adaptabilité :
- Une équation produit-nul : \((2x-3)(36x+11) = 0\).
- Une autre équation produit-nul impliquant un terme du second degré : \((9x+2)(4x^2 - 7) = 0\).
- Une équation quotient : \(\frac{16x^2-2}{x} = 0\), où il faut penser à l'ensemble de définition.
- Une autre équation quotient avec un numérateur à factoriser : \(\frac{4x^2+8x+4}{x+2} = 0\).
Cet exercice est fondamental pour vérifier la maîtrise des techniques de base du calcul littéral et de la résolution d'équations, compétences transverses à de nombreux chapitres.
Exercice 3 : Étude d'une fonction affine
Cet exercice propose une étude complète d'une fonction affine \(f\). À partir de deux images données, \(f(-3) = 2\) et \(f(-1) = 4\), vous devez :
- Calculer le coefficient directeur (pente) de la fonction en utilisant la formule du taux d'accroissement : \(a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\).
- Déterminer l'expression complète de la fonction \(f(x) = ax + b\), en utilisant une information supplémentaire (\(f(0) = 5\) qui donne directement l'ordonnée à l'origine).
- Calculer des images en complétant un tableau de valeurs.
- Dresser le tableau de variation de la fonction. Le signe du coefficient directeur détermine si la fonction est croissante ou décroissante.
- Tracer la courbe représentative de la fonction dans un repère, en justifiant la construction par le placement de points connus.
Cet exercice balaye toutes les compétences essentielles liées au chapitre sur les fonctions affines.
Exercice 4 : Simplification de sommes vectorielles
Le dernier exercice revient sur les vecteurs, mais cette fois-ci sous un angle purement calculatoire. Dans le contexte d'un parallélogramme ABCD, il s'agit de simplifier des sommes de vecteurs. Pour y parvenir, la relation de Chasles (\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)) est l'outil principal. Il faut aussi utiliser les propriétés vectorielles du parallélogramme, comme \(\vec{AB} = \vec{DC}\) ou \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
Les expressions à simplifier sont :
- \(\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}\)
- \(2\vec{AB} + \vec{CB}\)
- \(-\vec{CB} - \vec{AC} + 3\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{DC}\)
Cet exercice teste la capacité à manipuler les vecteurs de manière formelle pour simplifier des expressions complexes.