Introduction
Allons-y, les amis, nous allons résoudre des équations de type quotient égal à zéro. C'est la première fois que nous allons parler de valeurs interdites.
Récapitulatif
Je récapitule pour ceux qui nous rejoignent. Jusqu'à présent, vous savez résoudre \(a^2 = 0\), ce qui signifie que \(a = 0\). Vous savez résoudre \(ab = 0\), ce qui signifie que soit \(a = 0\), soit \(b = 0\). Nous allons maintenant apprendre le troisième et dernier cas, qui est \(a/b = 0\).
Prenons par exemple \(7x + 2 / 3x = 0\). Nous avons un quotient qui est nul. Quand un quotient est nul, c'est-à-dire quand on a un nombre divisé par un autre nombre et que ça fait zéro, quelles sont les possibilités ? Le cas le plus simple qui vous viendrait à l'esprit, c'est par exemple \(0/3\). \(0/3\) fait bien zéro. \(0/4\), \(0/6\), \(0/\pi\), ça fait aussi zéro. \(0\) sur un milliard, ça fera toujours zéro. Donc ce qui est sûr, c'est que quand j'ai \(a/b\) qui est égal à zéro, ça peut vouloir dire que \(a\) (le numérateur) est égal à zéro.
Les valeurs interdites
Est-ce que le dénominateur peut être égal à zéro ? C'est-à-dire, est-ce que \(3/0\) peut faire zéro ? Si vous écrivez \(3/0\), c'est que vous n'avez fondamentalement rien compris aux mathématiques. \(3/0\), \(4/0\), \(\infty/0\), \(6/0\), c'est le plus grand tabou de l'histoire des mathématiques. On n'a pas le droit de diviser par zéro. Pourquoi ? Une division, par exemple \(3/0\), c'est se demander combien de fois je vais rentrer le nombre du bas (c'est-à-dire zéro) dans le nombre du haut. Combien de fois je rentre zéro dans trois ? Une fois, deux fois, trois fois, cent fois, un milliard de fois ? C'est le chaos. Diviser par zéro, c'est le truc le plus interdit qui existe en maths, avec la racine carrée d'un nombre négatif, le logarithme d'un nombre négatif et avec tout un tas d'autres petites subtilités qu'on verra plus tard.
Mais pour l'instant, retenez que quand vous avez un quotient qui est égal à zéro, c'est forcément que le numérateur est égal à zéro et en plus de ça, le dénominateur doit être absolument différent de zéro.
Exemple
Prenons l'exemple \(7x + 2 / 3x = 0\). Cela signifie que le numérateur \(7x + 2\) est égal à zéro et que le dénominateur \(3x\) doit être absolument différent de zéro.
Si vous avez un doute sur comment on fait pour résoudre \(7x + 2 = 0\), je vous invite à regarder une vidéo spéciale sur ce sujet. On commence par prendre \(7x + 2\) et à l'envoyer de l'autre côté de l'équation, puis on divise tout par \(7\). Cela donne \(x = -2/7\).
La condition \(3x \neq 0\) signifie que \(x \neq 0\), car le seul nombre qui, multiplié par \(3\), donne \(0\) est \(0\). Donc, \(x \neq 0\) est une valeur interdite.
Conclusion
Félicitations, vous avez compris les valeurs interdites et vous avez compris que quand \(a/b = 0\), cela signifie que le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur est différent de zéro. Vous connaissez les trois identités et vous êtes armés pour résoudre toutes les équations jusqu'au bac.
Encore une fois, nous sommes partis d'une équation compliquée pour la transformer en deux équations plus simples. C'est cela, les mathématiques. C'est cela, la méthode cartésienne. C'est de dire : j'ai un gros truc bordélique et compliqué, je vais le couper en petits morceaux, en petites tranches que je peux résoudre plus simplement.
Entraînez-vous, il y a des vidéos en dessous avec des exercices.