Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Seconde : Fonctions Affines et Repérage

Ce document propose le sujet d'un contrôle de mathématiques de niveau Seconde, axé sur les chapitres des fonctions affines et du repérage dans le plan. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, ce sujet est idéal pour s'entraîner et valider ses compétences sur les équations de droites, les études de signe, la géométrie analytique et les vecteurs. Découvrez une analyse détaillée de chaque exercice pour vous préparer efficacement à vos évaluations.

Exercice 1 : Détermination d'une fonction affine

Cet exercice d'introduction est un grand classique. Il s'agit de retrouver l'expression algébrique d'une fonction affine, de la forme \(f(x) = mx + p\), à partir des coordonnées de deux points par lesquels sa droite représentative passe.

• Points donnés : \(A(0; 1)\) et \(B(2; -7)\).
• Objectif : Déterminer l'expression de la fonction affine \(f\) représentée par la droite \((AB)\).

La méthode de résolution se décompose en deux étapes clés :

1. Calcul du coefficient directeur (la pente) \(m\) : La formule à appliquer est \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). En remplaçant par les coordonnées des points A et B, on obtient \(m = \frac{-7 - 1}{2 - 0} = \frac{-8}{2} = -4\).
2. Calcul de l'ordonnée à l'origine \(p\) : L'ordonnée à l'origine est la valeur de \(f(x)\) lorsque \(x=0\). Le point \(A(0; 1)\) nous donne directement cette information : \(p = 1\). Autrement, on aurait utilisé l'équation \(y = -4x + p\) et les coordonnées de l'un des points (par exemple B) pour trouver \(p\): \(-7 = -4(2) + p\), ce qui donne \(p = 1\).

L'expression de la fonction affine est donc \(f(x) = -4x + 1\).

Exercice 2 : Exploration des fonctions affines

Cet exercice se divise en trois questions indépendantes qui balayent différentes facettes des fonctions affines : la reconnaissance de leur forme algébrique, la lecture graphique et la représentation graphique.

• Question 1 : Il faut démontrer que la fonction \(f(x) = -x(x + 4) + x^2 + \frac{7}{2}x + 3\) est une fonction affine. Cela requiert de développer et simplifier l'expression pour la ramener à la forme canonique \(mx + p\). Le développement donne \(-x^2 - 4x + x^2 + \frac{7}{2}x + 3\). Après simplification, on obtient \(f(x) = -\frac{1}{2}x + 3\), ce qui est bien la forme d'une fonction affine.
• Question 2 : Il s'agit de faire le travail inverse de l'exercice 1 : déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique. On lit sur le graphique l'ordonnée à l'origine \(p\) (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées). Ensuite, on choisit deux points à coordonnées entières sur la droite pour calculer le coefficient directeur \(m\) avec la méthode de "l'escalier" : \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\).
• Question 3 : On demande de tracer la courbe représentative de la fonction \(h(x) = -4x + 3\). Pour ce faire, on place d'abord l'ordonnée à l'origine, le point \((0; 3)\). Puis, on utilise le coefficient directeur \(m = -4 = \frac{-4}{1}\) pour trouver un second point : en partant de \((0; 3)\), on se déplace de 1 unité vers la droite et de 4 unités vers le bas pour arriver au point \((1; -1)\). Il ne reste plus qu'à tracer la droite passant par ces deux points.

Exercice 3 : Signe et inéquations

Cet exercice aborde la résolution d'inéquations du premier degré, en s'appuyant sur l'étude du signe d'expressions produits et quotients.

• Question 1 : Étudier le signe du produit \((4x - 1)(-2x + 7)\). La méthode consiste à construire un tableau de signes. On cherche les racines de chaque facteur (ici \(x = 1/4\) et \(x = 7/2\)), on étudie le signe de chaque fonction affine séparément, puis on applique la règle des signes pour déterminer le signe du produit sur les différents intervalles.
• Question 2 : Cette question guide vers la résolution d'une inéquation quotient. On doit d'abord montrer que résoudre \(\frac{17x - 29}{5x - 10} \ge 3\) est équivalent à résoudre \(\frac{2x + 1}{5x - 10} \ge 0\). Pour cela, on transpose le 3 dans le membre de gauche, on met tout au même dénominateur et on simplifie. Une fois la forme équivalente obtenue, on résout l'inéquation à l'aide d'un tableau de signes, en faisant attention à la valeur interdite qui annule le dénominateur (\(x=2\)).

Exercice 4 : Géométrie analytique dans le plan

Cet exercice est un problème complet de repérage dans le plan. On utilise les coordonnées de points pour démontrer des propriétés géométriques.

• Question 1 : Pour montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\), il faut prouver que les longueurs des côtés \(AB\) et \(BC\) sont égales. On calcule ces longueurs à l'aide de la formule de la distance entre deux points, qui correspond à la norme d'un vecteur : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
• Question 2 : On demande de calculer les coordonnées du milieu \(E\) du segment \([AC]\). On applique simplement la formule du milieu : \(E\left(\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}\right)\).
• Question 3 : Pour trouver les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme, on utilise l'égalité vectorielle qui le caractérise, par exemple \(\vec{AB} = \vec{DC}\). En posant \(D(x; y)\), on résout un système simple d'équations pour trouver \(x\) et \(y\).
• Question 4 : Pour montrer que le parallélogramme \(ABCD\) est un losange, il suffit de prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur. Comme on a déjà montré que \(AB=BC\) à la première question, la conclusion est immédiate.

Exercice 5 : Alignement de points et colinéarité

Ce dernier exercice est une application directe de la notion de colinéarité de vecteurs pour prouver l'alignement de points.

• Points donnés : \(A(-1; 18)\), \(B(41; 12)\) et \(C(x; 3)\).
• Objectif : Trouver la valeur de \(x\) pour laquelle les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. On calcule d'abord les coordonnées de ces deux vecteurs. Ensuite, on applique la condition de colinéarité : deux vecteurs \(\vec{u}(X, Y)\) et \(\vec{v}(X', Y')\) sont colinéaires si leur déterminant est nul, c'est-à-dire si \(XY' - X'Y = 0\). On obtient une équation du premier degré en \(x\) qu'il suffit de résoudre.