13. Inéquation avec produit de fonction affine

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment utiliser les tableaux de signes des fonctions affines pour résoudre une inéquation. On s'y met tout de suite. Vous savez résoudre des équations de ce type, il faut faire un tableau, c'est ce qu'on va voir maintenant. Comment est-ce que l'étude des fonctions affines va vous permettre de faire un tableau plus facilement ? Je récapitule pour ceux qui sont novices.

Explication de la méthode

Quand vous avez un produit, donc quelque chose \(x\) quelque chose, plus grand ou plus petit que 0, vous ne pouvez pas vous contenter de dire : "Pour que ce soit négatif, il faut que \(a\) soit négatif ou \(b\) soit positif, ou alors que \(b\) soit négatif et que \(a\) soit positif". Ça, ça ne marche pas. Ce qu'on fait, c'est qu'on fait un tableau avec sur la première ligne \(x\), sur la deuxième ligne le premier polynôme de la première fonction, par exemple \(3x -2\), sur la deuxième ligne la deuxième fonction, par exemple \(5x + 1\), et sur la troisième ligne, tout simplement le produit des deux, donc \(3x -2\) fois \(5x + 1\). On va faire la première ligne, on va étudier le signe, faire le tableau de signes de \(3x -2\), puis le tableau de signes de \(5x + 1\). Ensuite, on va utiliser les règles : plus par plus égale plus, moins par moins égale plus, et plus par moins égale moins, pour remplir la troisième ligne, celle qui nous intéresse. On va pouvoir répondre à la question de savoir quand est-ce que le produit est plus petit que 0 en regardant les \(x\) qui sont dans le tableau.

Exemple concret

On commence le tableau de signes de \(3x -2\). Je vais aller vite parce qu'on l'a déjà fait. Si vous ne savez pas comment faire, regardez des vidéos explicatives. Donc, quand est-ce que \(3x -2\) est égal à zéro ? Ça veut dire que \(x\) est égal à \(\frac{2}{3}\). Donc je vais mettre \(\frac{2}{3}\) ici. Je sais que pour \(\frac{2}{3}\), \(3x - 2\) vaut zéro. De plus, \(3x -2\) est une fonction croissante, donc elle est négative puis positive. Je recommence avec \(5x +1\). Quand \(x\) vaut \(-\frac{1}{5}\), ça vaut zéro. C'est une fonction croissante, donc elle est négative puis positive. Je remets ici pour que ce soit bien clair. Je vais mettre mes zéros ici et ici. Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que je tire des zéros. Prenons l'exemple de \(-\frac{1}{5}\). Quand \(x\) vaut \(-\frac{1}{5}\), \(3x -2\) vaut quelque chose de négatif, par exemple -1, et \(5x +1\) vaut 0. Si je fais \(-1 \times 0\), ça va me donner 0. Pour \(\frac{2}{3}\), \(3x -2\) vaut zéro et \(5x +1\) vaut quelque chose de positif, par exemple 3. Si je fais \(0 \times 3\), ça me donne 0. Ensuite, je réfléchis en termes de signes : moins par moins ça me donne plus, moins par plus ça me donne moins, plus par plus ça donne plus. Donc, à la question "Quand est-ce que le produit est négatif ?", la réponse est évidemment entre \(-\frac{1}{5}\) et \(\frac{2}{3}\). Donc ma solution c'est un intervalle qui va de \(-\frac{1}{5}\) jusqu'à \(\frac{2}{3}\). La question c'est : est-ce que je vais mettre des crochets ouverts ou fermés ? Je veux que le produit soit strictement plus petit que 0, autrement dit la valeur zéro je n'en veux pas. Je ne veux pas garder les zéros, donc je vais exclure \(-\frac{1}{5}\) et \(\frac{2}{3}\). Je mets un petit encadrement, un petit point pour indiquer que ces valeurs sont exclues. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous ! C'est vraiment ce que vous allez voir au contrôle. Vous êtes des champions !