14. Résoudre une inéquation quotient

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment les fonctions affines peuvent vous aider à régler des problèmes d'inégalité avec un quotient à gauche. On s'y met tout de suite. Pour résoudre une inégalité quotient plus grand que 0, on va faire un tableau de signes. Pour faire le tableau de signes de ce quotient, on va commencer par faire le tableau de signes d'une fonction affine très simple qui est \(x - 5\). Ensuite, on va continuer avec le dénominateur, on va faire le tableau de signes de \(x + 2\). Ensuite, grâce à la règle des signes, on va pouvoir faire le tableau de signes de \(\frac{x - 5}{x + 2}\). Donc, on va pouvoir savoir quand est-ce qu'il est positif. Donc, on va pouvoir résoudre l'équation.

Tableau de signes de \(x - 5\)

Pour faire le tableau de signes de \(x - 5\) qui est une fonction affine, je ne vais pas le faire en détail ici, car dans cette compétence là, vous l'avez déjà fait plusieurs fois, vous savez le faire. Pour faire le tableau de signes de \(x -5\), je regarde quand est-ce que \(x - 5\) vaut zéro. Et bien, ça vaut zéro quand \(x\) est égal à 5. Donc, quand \(x = 5\), \(x - 5 = 0\). C'est une fonction affine croissante donc elle est d'abord négative puis positive, car ce qu'il y a devant le \(x\) est positif.

Tableau de signes de \(x + 2\)

Je recommence avec \(x + 2\) qui s'annule quand \(x\) vaut moins 2. Donc, quand \(x = -2\), \(x + 2 = 0\). C'est aussi une fonction croissante donc elle est d'abord négative puis positive.

Tableau de signes de \(\frac{x - 5}{x + 2}\)

Petit point détail, quand j'ai fait le tableau de signes de \(x - 5\) et \(x + 2\), il suffisait que je fasse le tableau de signes de tout ça. Qu'est-ce qui se passe avec les zéros ? Je tiens mes zéros et je tiens mon zéro ici, parce que c'est vrai, ça c'est plus compliqué que ça. Regardez, quand \(x = 5\), \(x -5\) vaut zéro et \(x + 2\) vaut quelque chose de positif, par exemple 3. Donc, \(\frac{0}{3}\) effectivement le résultat ça va faire 0. Par contre, quand \(x\) vaut moins 2, \(x - 5\) vaut quelque chose de négatif, par exemple -3, et \(x + 2\) vaut 0. Est-ce que je dois tirer un 0 parce que \(-3 / 0\) ça fait zéro ? Mais surtout pas, \(-3 / 0\), le monde sait que tout s'effondre. Donc en fait, ce qui se passe ici, quand le dénominateur, celui qui est en dessous, vaut zéro, eh bien on est face à une valeur interdite. Donc on tire une double barre, on n'a pas le droit de mettre la valeur -2 dans cette équation, sinon on se retrouve dans un cas où on divise par 0 et ça c'est une opération interdite.

Résolution de l'inégalité

Une fois que ça c'est bon, je peux régler des histoires de signes. Aussi, ici c'est moins, ici c'est moins, donc plus par moins donne moins, et plus par plus donne plus. Ok, j'ai fait le tableau de signes de \(\frac{x - 5}{x + 2}\). Du coup, à la question, quand est-ce que c'est plus grand que 0, c'est assez facile, c'est ici et ici. Donc, ici et ici pour les valeurs de \(x\), mes solutions, c'est donc l'union, parce que j'ai un intervalle et un autre intervalle, donc je les prends en union, de l'intervalle qui va de moins l'infini jusqu'à -2, donc de \(-\infty\) jusqu'à -2, et de l'intervalle qui va de 5 à plus l'infini, donc de 5 à \(+\infty\). La question qu'on se pose toujours, c'est comment est-ce qu'on fait les bornes de ces intervalles ? Pour les infinis, c'est facile, ils sont toujours, toujours, toujours exclus. Pour -2, c'est facile aussi, puisque c'est une valeur interdite, donc forcément on va l'exclure, on n'en veut pas, donc on met une parenthèse ouverte vers l'extérieur. Et le 5, alors quand \(x\) vaut 5, mon quotient vaut 0. Est-ce que 0 est une valeur autorisée pour cette équation ? Eh bien, on veut que ce soit supérieur ou égal à zéro, donc du coup 0 est une valeur autorisée. Du coup, 5 qui donne 0 est aussi une valeur autorisée. Du coup, notre 5, on va le mettre vers l'intérieur pour dire qu'il est accepté. Je prends mon super intervalle, mon super tableau de variations que j'ai fait en prenant en compte la seconde compétence, car j'ai bien fait les compétences d'avant, et je déconne le contrôle. On vous a mis des exercices en dessous, faites-vous plaisir, à vous de jouer.