Introduction
Allez les amis, on est parti pour apprendre comment démontrer très rapidement que trois points sont alignés en utilisant les vecteurs. On se fait ça tout de suite.
Démonstration de l'alignement de trois points
Pour montrer que les points A, B et C sont alignés, il faut montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, ou alors que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires. En effet, regardez, si je prends trois points A, B et C, vous êtes d'accord avec moi que ce vecteur là \(\overrightarrow{AB}\) a la même direction que le vecteur \(\overrightarrow{AC}\). De la même manière, \(\overrightarrow{AB}\) a la même direction que \(\overrightarrow{BC}\). En conséquence, ils sont alignés. On va montrer que les vecteurs sont colinéaires. Moi, je vais commencer par \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). J'aurais pu faire \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\), mais j'ai choisi \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Première étape : calculer leurs coordonnées vu qu'on m'a donné les coordonnées. Deuxième étape : calculer le déterminant. Troisième étape : si le déterminant est nul, ça veut dire que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et donc que les points A, B et C sont alignés.
Alors, comment est-ce que je calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ? Ça, on l'a vu, je fais les coordonnées de B moins celles de A, donc \(-3 - 1 = -4\), \(-5 - 3 = -8\). Et je recommence avec \(\overrightarrow{AC}\), \(0 - 1 = -1\), \(1 - 3 = -2\). Je me rends compte déjà visuellement que quand je passe de -4 à -1, je multiplie par quatre et quand je passe de -8 à -2, je multiplie aussi par quatre. Donc, a priori, \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Du coup, A, B, C sont alignés. Je le vérifie en faisant le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) qui vaut \(-4 \times -2 - (-8 \times -1) = 8 - 8 = 0\).
Conclusion
Conclusion : les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Voilà, donc les points A, B et C sont alignés. Je veux faire plaisir à mon prof, donc j'encadre la conclusion. C'est un bon exercice que je recommande. Prenez tous vos points, entraînez-vous avec les exercices proposés. Dans tous les contextes, on peut avoir ce genre d'exercice. Vous êtes des machines !