Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Seconde, axé sur les chapitres fondamentaux du début d'année : le calcul littéral, la résolution d'équations et d'inéquations, et une introduction à la modélisation avec les fonctions affines. D'une durée de 50 minutes, ce devoir est un excellent outil de révision et d'auto-évaluation. Ce contrôle corrigé vous permettra de vérifier votre maîtrise des concepts essentiels et d'identifier vos points forts et les notions à approfondir.

Exercice 1 : Maîtrise du calcul littéral (5 points)

Cet exercice évalue les techniques de base du calcul littéral, indispensables pour la suite du lycée. Il se divise en deux parties : développement et factorisation.

• 1. Développer et réduire : On vous demande de développer l'expression \( A = (2x – 1)^2 – 4x(2x + 3) \). La résolution requiert l'application d'une identité remarquable, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), ainsi que la maîtrise de la distributivité simple. Le but est de transformer l'expression en une somme de termes, puis de la simplifier au maximum.
• 2. Factoriser : Cette question teste votre capacité à faire l'opération inverse du développement.
  • Pour l'expression \( B = 144 - 36x^2 \), il faut reconnaître une autre identité remarquable, la différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ici, \(a=12\) et \(b=6x\).
  • Pour l'expression \( C = (2x - 1)(x + 1) − (2x – 1)^2 \), la méthode consiste à identifier un facteur commun, qui est ici \((2x-1)\), pour ensuite simplifier l'expression restante.

Exercice 2 : Résolution d'équations et inéquations (8 points)

Cet exercice central du contrôle aborde différentes méthodes de résolution d'équations et d'inéquations, des compétences clés en algèbre.

• 1. Résolution d'équations :
  • L'équation \( (3x - 1)(4x + 7) = 0 \) est une équation produit-nul. La règle est simple : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Il faut donc résoudre deux équations du premier degré distinctes.
  • L'équation \( \frac{4x - 3}{x + 3} = 0 \) est une équation quotient-nul. Pour la résoudre, on pose que le numérateur doit être égal à zéro, tout en s'assurant que le dénominateur est non nul (condition d'existence).
• 2. Résolution d'inéquations : Il est demandé de résoudre deux inéquations du premier degré et de présenter les solutions sous forme d'intervalle.
  • \( 5x+4 \geq 7x-6 \) se résout en regroupant les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre.
  • \( 7-4(3x - 2) < 3(x - 1) \) nécessite une étape préliminaire de développement de chaque côté de l'inégalité avant de procéder à la résolution classique.
• 3. Équation avec valeur absolue : La résolution de l'équation \( |x + 2| = 5 \) fait appel à la définition de la valeur absolue. L'expression \( |X| = a \) (avec \(a \ge 0\)) est équivalente à \(X=a\) ou \(X=-a\), ce qui mène à deux solutions distinctes.

Exercice 3 : Problème de géométrie et fonctions affines (7 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise la géométrie, la mise en équation et l'étude de fonctions affines. Il s'agit de modéliser une situation concrète pour répondre à une question.

Le contexte est un rectangle \(ABCD\) où deux points \(M\) et \(N\) se déplacent. Le but est de comparer les aires de deux triangles, \(ABM\) et \(ADN\), en fonction de la position \(x\) de ces points.

• 1. Intervalle de validité : La première question consiste à traduire les contraintes géométriques (M appartient à [BC], N appartient à [CD]) pour définir l'ensemble des valeurs possibles pour \(x\).
• 2. Expression des aires : Il faut ensuite exprimer les aires des deux triangles en fonction de \(x\).
  • L'aire du triangle \(ABM\), notée \(f(x)\), est une fonction linéaire.
  • L'aire du triangle \(ADN\), notée \(g(x)\), est une fonction affine non linéaire. Le calcul de sa base \(DN\) nécessite une petite manipulation.
• 3. Résolution du problème : La question finale, "Pour quelle position de M [...] les triangles ABM et ADN ont-ils la même aire ?", revient à résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\). Cela correspond à trouver l'abscisse du point d'intersection des droites représentant les deux fonctions. C'est une application directe de la résolution d'une équation du premier degré.

Ce sujet de maths est un excellent exemple de ce qui est attendu en classe de Seconde pour valider les compétences sur les calculs, les équations et les fonctions.