2. Expression d'une fonction affine à partir d'un graphe

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour voir deux techniques pour donner l'expression d'une fonction affine. On vous a donné la représentation graphique, on s'y met tout de suite.

Rappel sur la fonction affine

Un petit rappel, une fonction affine ça s'écrit \(f(x) = ax + b\). Donc votre objectif c'est d'arriver à trouver que cette fonction est égale à quelque chose du type \(ax + b\). Le \(a\) qui est devant le \(x\) s'appelle le coefficient directeur et le \(b\) qui est juste après, c'est ce qu'on appelle l'ordonnée à l'origine. Dans tous les cas, le plus simple à déterminer graphiquement, c'est l'ordonnée à l'origine. L'ordonnée à l'origine c'est ce que vous allez lire sur l'axe vertical, c'est l'ordonnée quand la fonction passe par l'origine. Par exemple, pour la fonction \(f\), l'ordonnée à l'origine vaut 1, 2, 3, 4. Donc je sais que mon \(f(x)\) ça va être quelque chose du type \(x + 4\). De même, je sais que pour \(g\), l'ordonnée à l'origine va être -1, -2. Donc son expression sera quelque chose du type \(x - 2\).

Calcul du coefficient directeur

Pour trouver la valeur de \(a\), c'est-à-dire le coefficient directeur, je vais vous montrer une méthode très rapide que vous pouvez faire sur vos brouillons, mais qui n'est pas forcément celle que vous allez faire sur votre copie, et une deuxième méthode qui est un peu plus longue mais qui est plus solide. Pour la méthode rapide, pour la fonction \(g\), je vous propose de prendre deux points où votre fonction \(g\) tombe pile, c'est-à-dire où elle tombe à l'intersection des carrés. Ensuite, vous dessinez un triangle rectangle. La valeur de votre coefficient directeur va être la longueur verticale, que j'appelle \(\Delta y\), divisée par la longueur horizontale, que j'appelle \(\Delta x\). Autrement dit, combien je monte divisé par combien j'avance. Pour passer de l'un à l'autre, j'ai monté de 7 et avancé de 3. Donc l'expression de \(g(x)\) c'est \(7/3x - 2\). Petit rappel, le coefficient directeur, c'est-à-dire \(\Delta y / \Delta x\), quand la fonction est croissante, ce coefficient directeur doit être positif. Si elle était décroissante, il faudrait qu'on ait un coefficient directeur négatif.

Deuxième technique pour le calcul du coefficient directeur

La deuxième technique, qui est beaucoup plus solide et qui correspond à ce que vous pouvez faire sur votre copie, c'est de dire : je prends ma courbe de \(f\) et je vais mettre deux points dessus qui tombent pile. Par exemple, je vais prendre le point \(A\) et le point \(B\), et je vais donner les coordonnées de \(A\) et \(B\). Les coordonnées de \(A\) sont \(-3, 5\) et celles de \(B\) sont \(2, 3\). La valeur du coefficient directeur s'obtient par \((y_B - y_A) / (x_B - x_A)\). Donc ici, on a \((3 - 5) / (2 - (-3))\), ce qui donne \(-2 / 5\), soit \(-0.4\). Donc le coefficient directeur de \(f\) est \(-0.4\). Avec cette technique, vous n'avez même pas besoin de vous prendre la tête à réfléchir si elle est croissante ou décroissante. Cette technique, si vous calculez proprement, elle vous donne directement le signe. Alors que pour l'autre, il faut se creuser un peu plus la tête. Vous avez vu les deux techniques, c'est vraiment standard. Je suis sûr à 100% qu'en contrôle on va vous donner des représentations graphiques et on vous demandera de faire ça. Apprenez à le faire, faites des exercices pour que ça rentre bien dans la tête. À vous de jouer, vous êtes des champions !