Analyse et Corrigé du Contrôle de Mathématiques (Première Spécialité)

Ce sujet de mathématiques de niveau Première spécialité est un excellent entraînement sur les chapitres des suites numériques et des polynômes du second degré. D'une durée d'une heure, il est composé de trois exercices balayant des compétences variées : le calcul, le raisonnement, la modélisation et l'algorithmique. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, suites numériques, polynômes du second degré, suite arithmético-géométrique.

Exercice 1 : Étude d'une suite récurrente

Cet exercice se concentre sur une suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u_0 = -5\) et la relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n + 2n + 1\). Il s'agit d'une suite ni arithmétique, ni géométrique, qui demande une étude pas à pas.

• Question 1 : Calcul des premiers termes. On applique la formule de récurrence pour trouver les cinq premiers termes : \(u_0 = -5\), \(u_1 = u_0 + 2(0) + 1 = -4\), \(u_2 = u_1 + 2(1) + 1 = -1\), \(u_3 = u_2 + 2(2) + 1 = 4\), \(u_4 = u_3 + 2(3) + 1 = 11\).
• Question 2 : Représentation graphique. Il s'agit de placer les points de coordonnées \((n, u_n)\) dans le repère fourni, c'est-à-dire les points (0, -5), (1, -4), (2, -1), (3, 4), et (4, 11).
• Question 3 : Sens de variation. On conjecture d'abord que la suite est croissante en observant les valeurs calculées. Pour le démontrer, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\). Le calcul donne \(u_{n+1} - u_n = 2n + 1\). Comme \(n\) est un entier naturel, \(n \ge 0\), donc \(2n + 1 > 0\). La différence étant toujours positive, la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
• Question 4 : Algorithmique Python. L'objectif est de compléter une fonction qui calcule \(u_n\). Il faut initialiser une variable `u` à \(u_0 = -5\), puis utiliser une boucle `for i in range(n)` qui s'exécute \(n\) fois pour calculer successivement les termes jusqu'à \(u_n\). À chaque tour de boucle, on met à jour `u` avec la formule `u = u + 2*i + 1`.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec Justification

Cet exercice teste la maîtrise des concepts clés sur le second degré et les suites à travers cinq affirmations à valider ou réfuter avec une preuve rigoureuse.

• Affirmation 1 : Position relative de deux courbes. Pour comparer les positions des paraboles de \(f(x) = 5x^2 - 4x + 3\) et \(g(x) = x^2 + 8x - 6\), on étudie le signe de la différence \(f(x) - g(x) = 4x^2 - 12x + 9\). On reconnaît une identité remarquable : \((2x - 3)^2\). Un carré étant toujours positif ou nul, \(f(x) - g(x) \ge 0\), ce qui signifie que \(\mathcal{C}_f\) est toujours au-dessus (ou sur) \(\mathcal{C}_g\). L'affirmation est donc Fausse.
• Affirmation 2 : Équation du second degré avec paramètre. L'équation est \(x^2 + (m+3)x + (m+1) = 0\). Pour qu'elle admette deux solutions, son discriminant \(\Delta\) doit être strictement positif. On calcule \(\Delta = (m+3)^2 - 4(m+1) = m^2 + 2m + 5\). C'est un trinôme en \(m\). Pour connaître son signe, on calcule son propre discriminant, \(\Delta' = 2^2 - 4(1)(5) = -16\). Comme \(\Delta' < 0\) et le coefficient de \(m^2\) est positif, le trinôme \(m^2+2m+5\) est toujours strictement positif. Ainsi, \(\Delta > 0\) pour tout réel \(m\), et l'affirmation est Vraie.
• Affirmation 3 : Sens de variation d'une suite. Pour \(u_n = -n^2 - 3n + 4\), on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n = (- (n+1)^2 - 3(n+1) + 4) - (-n^2 - 3n + 4) = -2n-4\). Pour \(n \ge 0\), \(-2n-4\) est toujours négatif. La suite est donc décroissante. L'affirmation est Vraie.
• Affirmation 4 : Croissance d'une suite. Pour la suite définie par \(v_0=0\) et \(v_{n+1} = 2v_n^2 - 5v_n + 2\), on calcule les premiers termes : \(v_0 = 0\), \(v_1 = 2\), \(v_2 = 0\). Comme \(v_1 > v_0\) mais \(v_2 < v_1\), la suite n'est pas croissante. L'affirmation est Fausse.
• Affirmation 5 : Modélisation par une suite géométrique. Le nombre d'entrées est modélisé par une suite géométrique de premier terme \(w_0 = 54000\) et de raison \(1.05\). On cherche le premier entier \(n\) tel que \(54000 \times 1.05^n > 100000\). L'année 2038 correspond à \(n=13\). On calcule \(w_{12} \approx 96976\) et \(w_{13} \approx 101825\). Le seuil est bien dépassé pour la première fois en 2038. L'affirmation est Vraie.

Exercice 3 : Problème de Modélisation (Suite Arithmético-Géométrique)

Ce problème concret sur une population de phoques est un cas d'étude classique de suite arithmético-géométrique.

• Questions 1 et 2 : Établir la relation de récurrence. On part de \(u_n\) phoques. L'arrivée de 60 individus porte le total à \(u_n + 60\). Une diminution de 10% revient à multiplier par \(1 - 0.1 = 0.9\). On obtient donc la relation \(u_{n+1} = 0.9(u_n + 60) = 0.9u_n + 54\). C'est bien une suite arithmético-géométrique.
• Question 3 : Conjecture de la limite. En calculant les premiers termes à la calculatrice, on observe que la suite est décroissante et semble converger vers une valeur. Le point fixe \(L\) de la suite vérifie l'équation \(L = 0.9L + 54\), ce qui donne \(0.1L = 54\) et donc \(L=540\). On peut conjecturer que la suite tend vers 540.
• Question 4 : Interprétation d'algorithme. La fonction Python `phoques(S)` renvoie le premier rang \(n\) pour lequel la population \(u_n\) passe sous le seuil \(S\). L'instruction `phoques(800)` qui renvoie `13` signifie qu'au bout de 13 ans (en 2033), la population passera pour la première fois sous la barre des 800 individus. Le parc perdra donc son label.
• Question 5 : Étude de la variation. À partir de la forme explicite admise \(u_n = 960 \times 0.9^n + 540\), on calcule \(u_{n+1} - u_n = (960 \times 0.9^{n+1} + 540) - (960 \times 0.9^n + 540) = 960 \times 0.9^n (0.9 - 1) = -96 \times 0.9^n\). Cette différence est toujours négative, ce qui confirme que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.