Sujet de maths corrigé pour la classe de Première spécialité, axé sur les chapitres de la dérivation et du produit scalaire. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, est idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances. Il est composé de cinq exercices variés qui couvrent les aspects graphiques et analytiques de la dérivation, ainsi que les différentes méthodes de calcul du produit scalaire. Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant réviser efficacement, avec des exercices types mêlant lecture graphique, calculs algébriques et raisonnement géométrique.

• Thèmes abordés : Dérivation locale, nombre dérivé, équation de la tangente, produit scalaire.
• Niveau : Première, spécialité mathématiques.
• Mots-clés : contrôle de maths, sujet corrigé, première spé, dérivation, produit scalaire, tangente, géométrie.

Exercice 1 : Lecture graphique et tracé de tangente

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique du nombre dérivé. À partir de la courbe représentative d'une fonction \(f\) et de sa tangente en un point A, il faut mobiliser ses connaissances sur le lien entre la pente de la tangente et la valeur du nombre dérivé.

• Question 1 : Il s'agit de déterminer graphiquement \(f'(-2)\). La méthode consiste à identifier les coordonnées de deux points sur la tangente tracée au point d'abscisse -2, puis à calculer le coefficient directeur de cette droite. C'est l'application directe de la définition graphique du nombre dérivé.
• Question 2 : Le processus est inversé. On nous donne la valeur du nombre dérivé en un point, \(f'(-1) = -1\). Il faut alors tracer la tangente correspondante. Pour cela, on localise le point sur la courbe d'abscisse -1, puis on utilise le coefficient directeur (-1) pour tracer la droite en plaçant un deuxième point (par exemple, en se déplaçant d'une unité vers la droite et d'une unité vers le bas).

Exercice 2 : Détermination de l'équation d'une tangente

Cet exercice est une application directe du cours sur l'équation de la tangente à une courbe en un point. Il faut connaître et savoir appliquer la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).

• Question 1 : On demande l'équation de la tangente à la courbe \(C_f\) au point d'abscisse -2. Les informations fournies sont le coefficient directeur, \(f'(-2) = 3\), et l'ordonnée du point, \(f(-2) = -1\). Il suffit de remplacer ces valeurs dans la formule pour obtenir l'équation réduite de la droite.
• Question 2 : La question est similaire mais formulée légèrement différemment. On cherche l'équation de la tangente à la courbe \(C_g\) au point \(A(4; 1)\), avec \(g'(4) = 2\). Le point A nous donne directement l'abscisse \(a=4\) et l'ordonnée \(g(4)=1\). L'application de la formule est tout aussi directe.

Exercice 3 : Applications variées du produit scalaire

Cet exercice balaye les différentes formules du produit scalaire et la capacité à choisir la plus pertinente selon le contexte géométrique. Pour chaque cas, il faut calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\).

• Cas 1 : On connaît les longueurs des trois côtés du triangle ABC (\(AB=4, AC=5, BC=7\)). La méthode la plus efficace est d'utiliser la formule issue du théorème d'Al-Kashi (ou l'une des formules de polarisation) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{v}-\vec{u}\|^2)\). Ici, cela donne \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)\).
• Cas 2 : On connaît deux longueurs et l'angle qu'elles forment (\(AB=4, AC=5, \widehat{BAC} = \frac{5\pi}{6}\)). C'est l'application directe de la définition du produit scalaire par l'angle : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
• Cas 3 : La figure est un losange ABCD de diagonale \(AC = 20\). Il faut ici utiliser les propriétés du losange (diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu) et la projection orthogonale. Le projeté du point B sur la droite (AC) est le centre O du losange. Ainsi, \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AO} \cdot \vec{AC}\).
• Cas 4 : La figure est un rectangle ABCD avec \(AB = 8\). De nouveau, la projection orthogonale est la clé. Le projeté du point C sur la droite (AB) est le point B. Le calcul devient alors \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2\).

Exercice 4 : Produit scalaire et géométrie analytique

Cet exercice se place dans un repère orthonormé \((A; \vec{AB}, \vec{AD})\) défini à partir d'un carré ABCD. Il s'agit de traduire la situation géométrique en coordonnées pour effectuer les calculs.

• Question 1 : Calculer \(\vec{AE} \cdot \vec{AC}\) en utilisant la formule analytique du produit scalaire \(xx' + yy'\). Il faut d'abord déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AE}\) et \(\vec{AC}\) dans le repère donné.
• Question 2 : Un calcul en deux temps. D'abord, calculer le produit scalaire \(\vec{DE} \cdot \vec{DB}\) avec les coordonnées. Ensuite, utiliser la formule avec le cosinus pour trouver une mesure de l'angle \(\widehat{EDB}\). Cela nécessite le calcul préalable des normes \(\|\vec{DE}\|\) et \(\|\vec{DB}\|\).
• Question 3 : Cette question aborde la condition d'orthogonalité. On cherche un point F sur un segment tel que deux droites soient perpendiculaires. La condition se traduit par un produit scalaire nul : \(\vec{OF} \cdot \vec{DE} = 0\). En posant les coordonnées de F avec une inconnue, on obtient une équation à résoudre pour trouver la position de F.

Exercice 5 : QCM de synthèse sur le produit scalaire

Ce dernier exercice est un questionnaire à choix multiples qui permet de vérifier rapidement la maîtrise de plusieurs concepts clés du produit scalaire dans des configurations géométriques classiques.

• Question 1 : Triangle équilatéral. Il faut utiliser la formule avec l'angle, en se rappelant que les angles d'un triangle équilatéral valent 60° ou \(\frac{\pi}{3}\) radians.
• Question 2 : Parallélogramme. Il faut utiliser les propriétés des vecteurs dans un parallélogramme, notamment que \(\vec{CD} = -\vec{AB}\).
• Question 3 : Points donnés par leurs coordonnées. Il s'agit de tester différentes propositions en calculant des produits scalaires ou des normes de vecteurs à partir de leurs coordonnées.
• Question 4 : Triangle isocèle. Le calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) nécessite de trouver le cosinus de l'angle \(\widehat{BAC}\), ce qui peut se faire à l'aide du théorème d'Al-Kashi.

En résumé, ce sujet de contrôle pour Première spécialité est un excellent outil de révision. Il évalue la compréhension de la notion de dérivée et de son application à la détermination de tangentes, ainsi que la maîtrise des différentes techniques de calcul du produit scalaire et de ses applications en géométrie plane, que ce soit dans un cadre purement géométrique ou analytique.