Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Première Spécialité

Ce sujet de maths de niveau Première spécialité est un excellent moyen de réviser deux chapitres fondamentaux : le produit scalaire et la dérivation. Ce contrôle corrigé, d'une durée de 1h50, est composé de 5 exercices variés qui balayent les compétences essentielles de ces notions. Vous y trouverez un QCM pour tester vos réflexes, des démonstrations géométriques avec et sans repère, ainsi que des études de fonctions incluant le calcul de dérivées, la détermination d'équations de tangentes et l'étude de positions relatives. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes et les raisonnements attendus.

Exercice 1 : QCM sur le Produit Scalaire (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la maîtrise des définitions et propriétés de base du produit scalaire.

• Question 1 : Dans un carré \(ABCD\) de côté 4, il faut calculer des produits scalaires comme \(\vec{OB} \cdot \vec{OA}\) ou \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) en utilisant les propriétés géométriques (orthogonalité, colinéarité, normes des vecteurs).
• Question 2 : Il s'agit de simplifier l'expression \(||\vec{u} - \vec{v}||^2 - ||\vec{u} + \vec{v}||^2\). Cet exercice teste la connaissance des identités remarquables scalaires (ou formules de polarisation) qui lient norme et produit scalaire.
• Question 3 : On demande de retrouver la mesure d'un angle dans un triangle isocèle en connaissant les longueurs des côtés et la valeur d'un produit scalaire. L'application de la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cos(\theta)\) est ici centrale.
• Question 4 : À partir des coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\), il faut déterminer une mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\). Cela implique de calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\), de calculer leur produit scalaire et leurs normes, puis d'en déduire le cosinus de l'angle.

Exercice 2 : Orthogonalité et Produit Scalaire (3,5 points)

L'objectif de cet exercice est de démontrer qu'un triangle \(ABM\) est rectangle en \(M\) par deux méthodes distinctes, montrant ainsi que le produit scalaire est un outil puissant pour prouver l'orthogonalité.

• 1) Sans repère : Cette question guide vers une démonstration purement vectorielle. En utilisant la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs \(\vec{MA}\) et \(\vec{MB}\) (\("\vec{MA} = \vec{MD} + \vec{DA}"\) et \("\vec{MB} = \vec{MC} + \vec{CB}"\)), on calcule le produit scalaire \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\). Le calcul, en s'appuyant sur les relations d'orthogonalité dans le rectangle, doit aboutir à 0.
• 2) Avec repère : La même démonstration est demandée, mais cette fois en utilisant un repère orthonormé bien choisi (par exemple d'origine \(A\)). Il faut déterminer les coordonnées de tous les points, calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{MA}\) et \(\vec{MB}\), et enfin utiliser la formule analytique du produit scalaire pour montrer qu'il est nul.

Exercice 3 : Étude d'une fonction et de sa tangente (5 points)

Cet exercice classique porte sur l'étude locale d'une fonction polynôme du second degré \(f(x) = 2x^2 - 3x + 2\).

• 1) Calcul du nombre dérivé : On demande de montrer que \(f'(2) = 5\) par le calcul de la fonction dérivée \(f'(x)\).
• 2) Équation de la tangente : Il faut déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe au point d'abscisse 2, en appliquant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
• 3) et 4) Position relative : Ces questions portent sur l'étude de la position de la courbe \(\mathcal{C}\) par rapport à sa tangente \(T\). En étudiant le signe de la différence \(f(x) - (5x - 6)\), on montre que la courbe est toujours au-dessus de sa tangente.

Exercice 4 : Dérivabilité de la fonction cube (4 points)

Cet exercice revient sur la définition même du nombre dérivé en l'appliquant à la fonction cube \(f(x) = x^3\).

• 1) Identité remarquable : Une question préliminaire pour démontrer l'identité \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
• 2) Dérivabilité en un point : En utilisant la définition, il faut démontrer que \(f\) est dérivable en \(a\) en calculant la limite du taux de variation \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) lorsque \(h\) tend vers 0.
• 3) Interprétation géométrique : On s'intéresse aux tangentes aux points d'abscisses opposées \(a\) et \(-a\). Le calcul de \(f'(-a)\) montre que les coefficients directeurs sont égaux, ce qui signifie que les tangentes sont parallèles.

Exercice 5 : Problème de recherche de tangentes (3,5 points)

Ce dernier exercice est un problème d'application qui demande de trouver les points d'une parabole dont la tangente passe par l'origine du repère.

• Pour la fonction \(f(x) = x^2 - 4x + 5\), on doit trouver les abscisses \(a\) des points de la courbe pour lesquels la tangente en ce point passe par \((0,0)\).
• La méthode consiste à écrire l'équation générale de la tangente au point d'abscisse \(a\), puis à substituer \(x=0\) et \(y=0\) dans cette équation. On obtient alors une équation du second degré en \(a\), qu'il faut résoudre pour trouver les points recherchés.