Analyse détaillée du contrôle de maths (Première Spécialité)

Ce document propose une analyse et une correction d'un sujet de mathématiques de niveau Première spécialité. Le contrôle, d'une durée d'une heure et trente minutes et sans calculatrice, porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : la dérivation locale et la trigonométrie. Il s'agit d'une évaluation complète qui permet de vérifier la maîtrise des concepts graphiques, des calculs techniques et du raisonnement mathématique. Ce corrigé est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner, comprendre leurs erreurs et consolider leurs connaissances.

Exercice 1 : Lecture graphique et nombre dérivé

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique des concepts de la dérivation. À partir de la courbe représentative d'une fonction \(f\) et de quelques points et tangentes, il faut mobiliser ses connaissances pour lier le visuel aux notions mathématiques.

• Question 1 : Il s'agit d'une lecture directe de coordonnées. La valeur de \(f(0)\) est l'ordonnée du point \(A\) et \(f(2)\) est l'ordonnée du point \(B\), qui appartient à la courbe \(C_f\).
• Question 2 : Cette question évalue la compréhension de la notion de nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
  • Pour \(f'(0)\), il faut calculer la pente de la droite \((AC)\), qui est la tangente à la courbe au point \(A\). Avec les points \(A(0; 2)\) et \(C(-2; 0)\), le coefficient directeur est \(m = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{0-2}{-2-0} = 1\). Donc, \(f'(0) = 1\).
  • Pour \(f'(1)\), l'énoncé précise que la tangente au point d'abscisse 1 est horizontale. Une droite horizontale a une pente nulle, donc \(f'(1) = 0\).
• Question 3 : Il faut déterminer l'équation de la tangente au point \(A\). On utilise la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) avec \(a=0\). On connaît \(f(0)=2\) et \(f'(0)=1\). L'équation est donc \(y = 1(x-0) + 2\), soit \(y = x+2\).

Exercice 2 : Taux de variation et équation de tangente

Cet exercice aborde la dérivation d'un point de vue plus calculatoire, en partant de sa définition formelle via le taux de variation. La fonction étudiée est \(g(x) = \frac{1}{x-2}\).

• Question 1 : On demande de calculer le taux de variation de \(g\) entre \(3\) et \(3+h\). Il faut poser le calcul : \( \tau(h) = \frac{g(3+h) - g(3)}{h} \). On a \(g(3)=1\) et \(g(3+h) = \frac{1}{(3+h)-2} = \frac{1}{1+h}\). Le taux est donc \( \tau(h) = \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \frac{\frac{1-(1+h)}{1+h}}{h} = \frac{-h}{h(1+h)} = \frac{-1}{1+h}\).
• Question 2 : Le nombre dérivé \(g'(3)\) est la limite du taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0. On a \(g'(3) = \lim_{h\to 0} \frac{-1}{1+h} = -1\).
• Question 3 : On applique à nouveau la formule de l'équation de la tangente en \(a=3\) : \(y = g'(3)(x-3) + g(3)\). Avec \(g'(3)=-1\) et \(g(3)=1\), on obtient \(y = -1(x-3) + 1\), soit \(y = -x + 4\).
• Question 4 : Il s'agit de tracer la droite d'équation \(y = -x+4\) sur le graphique fourni.

Exercice 3 : Repérage sur le cercle trigonométrique

Cet exercice est un classique de la trigonométrie qui vérifie la capacité à se repérer sur le cercle trigonométrique.

• Question 1 : Il faut trouver deux réels associés aux points \(C\) et \(M\). Le point \(C\) a pour coordonnées \((-1, 0)\), il est donc associé à l'angle \(\pi\) radians, mais aussi à \(3\pi\), \(-\pi\), etc.
• Question 2 : Cette question demande de placer des points sur le cercle à partir de leurs mesures d'angle en radians : \(-\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{7\pi}{4}\) et \(\frac{13\pi}{6}\). Pour \(\frac{13\pi}{6}\), il faut noter que \(\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}\). Ce point est donc le même que celui associé à \(\frac{\pi}{6}\).

Exercice 4 : Valeurs remarquables et angles associés

Cet exercice teste la connaissance des valeurs exactes des cosinus et sinus pour les angles remarquables, ainsi que l'utilisation des angles associés.

• Question 1a : Connaissances de cours : \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\).
• Question 1b : Utilisation des angles associés pour calculer \(\sin(\frac{7\pi}{3})\) et \(\cos(\frac{3\pi}{4})\).
• Question 2 : Placer le point associé à \(\frac{5\pi}{4}\) sur le cercle et en déduire ses coordonnées, qui sont \((\cos(\frac{5\pi}{4}), \sin(\frac{5\pi}{4})) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})\).

Exercice 5 : Conversion degrés et radians

Un exercice rapide d'application directe des formules de conversion entre degrés et radians, compétence essentielle en trigonométrie.

Exercice 6 : Non-dérivabilité de la fonction racine carrée en 0

Ce dernier exercice est une démonstration guidée d'un résultat de cours important : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. Le raisonnement s'appuie, encore une fois, sur le taux de variation.

• Question 1 : Il faut compléter le calcul du taux de variation de \(f(x) = \sqrt{x}\) entre 0 et \(h\) (\(h>0\)). Le taux est \(\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h}-0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}\). La limite de ce taux lorsque \(h\) tend vers \(0\) est \(+\infty\).
• Question 2 : La limite du taux de variation n'étant pas un nombre réel fini, on conclut que la fonction \(f\) n'est pas dérivable en 0. Graphiquement, cela se traduit par la présence d'une tangente verticale à l'origine.

En conclusion, ce contrôle corrigé balaye efficacement les compétences attendues en début de chapitre sur la dérivation et en trigonométrie, alliant lecture graphique, calculs, et raisonnement. C'est un excellent sujet pour préparer son évaluation de mathématiques en Première spécialité.