Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de mathématiques pour la classe de Première spécialité. Ce contrôle, d'une durée d'1h45, évalue les compétences sur trois chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré, la dérivation locale et les généralités sur les suites. Idéal pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Ce sujet de maths, avec sa correction complète, vous permettra de vous familiariser avec le type de questions posées et de renforcer votre maîtrise des notions clés. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les méthodes de résolution et les savoir-faire attendus. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, second degré, dérivation, suites, optimisation.

Exercice 1 : QCM de connaissances (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui balaye rapidement les concepts essentiels des chapitres. Il permet de vérifier la compréhension des définitions et des propriétés de base.

• Question 1 : Étude d'une équation du second degré mx² + 3x + 4 = 0 avec un paramètre m. Il fallait déterminer les valeurs de m pour lesquelles l'équation admet deux solutions réelles distinctes, ce qui implique de discuter le signe du discriminant Δ et de considérer le cas où m=0.
• Question 2 : Résolution d'une inéquation du second degré, 100x² - 1 > 0. Une application directe de l'étude du signe d'un trinôme.
• Question 3 : Manipulation de l'expression d'une suite. Pour une suite définie par uₙ = 4n² – 5n + 2, il s'agissait de trouver l'expression de uₙ₊₁ en remplaçant n par n+1.
• Question 4 : Simplification d'une expression avec des racines carrées. La technique de la quantité conjuguée était nécessaire pour transformer l'expression 1/(√a - √b).
• Question 5 : Reconnaissance de la définition formelle du taux de variation d'une fonction f entre deux points, ici entre 1 et 1+h. La formule à identifier était τ(h) = (f(1+h) - f(1))/h.

Exercice 2 : Dérivabilité et nombre dérivé (4 points)

Cet exercice se concentre sur le concept de dérivation locale, en revenant à la définition du nombre dérivé comme limite du taux de variation. C'est une compétence fondamentale du chapitre sur la dérivation.

• Question 1 : On étudie la fonction polynôme f(x) = 2x² - x + 1. Le but est de calculer le taux de variation entre 1 et 1+h, de simplifier l'expression, puis de calculer sa limite lorsque h tend vers 0 pour trouver le nombre dérivé f'(1).
• Question 2 : La même méthode est appliquée à la fonction g(x) = 6/x au point d'abscisse 3. Cet exemple permet de travailler avec une fonction non polynomiale et de manipuler des quotients.

Exercice 3 : Étude de suites numériques (7 points)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, toutes deux centrées sur les suites, un thème majeur en Première.

Partie A : Sens de variation

Cette partie demande de déterminer le sens de variation de trois suites différentes, illustrant plusieurs méthodes possibles :

• Pour uₙ = n² + 3n, on peut étudier le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ ou s'appuyer sur les variations de la fonction associée f(x) = x²+3x.
• Pour vₙ = 2 - 1,5n, on reconnaît une suite arithmétique dont le sens de variation dépend du signe de la raison.
• Pour la suite récurrente pₙ₊₁ = pₙ + n² + n + 1, l'étude du signe de pₙ₊₁ - pₙ est la méthode la plus directe.

Partie B : Modélisation et suite arithmético-géométrique

Cette partie est un problème de modélisation concret. L'envahissement d'un jardin par des chardons est modélisé par une suite (uₙ).

• On établit la relation de récurrence qui lie uₙ₊₁ et uₙ. L'augmentation de 4% suivie d'un ajout de 13 m² conduit à une suite arithmético-géométrique de la forme uₙ₊₁ = 1,04 uₙ + 13.
• Le calcul des premiers termes est demandé pour initialiser le raisonnement.
• Un algorithme en Python est à compléter pour calculer un terme de rang n de la suite, ce qui mobilise des compétences en logique et en programmation.

Exercice 4 : Problème d'optimisation (5 points)

Le dernier exercice est un problème complet qui mélange géométrie et étude de fonction. Il s'agit d'optimiser l'aire d'une surface grisée, un grand classique des applications des polynômes du second degré.

• Modélisation : La première étape consiste à exprimer l'aire de la surface, notée A(x), en fonction de la position x du point M. En utilisant le théorème de Thalès et les formules d'aires du triangle et du rectangle, on aboutit à une expression polynomiale du second degré : A(x) = (1/4)x² - 4x + 48.
• Optimisation : Pour trouver l'aire minimale, il faut étudier les variations de la fonction A(x) sur son intervalle de définition. On dresse le tableau de variation du trinôme, on identifie l'abscisse du sommet de la parabole, xₛ = -b/(2a), et on en déduit la valeur minimale de l'aire.
• Résolution d'équation : La dernière question demande de trouver les positions M pour lesquelles l'aire est égale à une valeur donnée (33 cm²). Cela revient à résoudre l'équation du second degré A(x) = 33, soit (1/4)x² - 4x + 15 = 0, en calculant le discriminant.