Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de type Bac Blanc de mathématiques pour le niveau Première spécialité. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures, couvre trois chapitres essentiels du programme : les automatismes, les polynômes du second degré et la trigonométrie. Idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances, ce sujet est un excellent outil de révision.
Ce document propose une analyse complète des exercices, avec des explications pas à pas pour chaque question, vous permettant de comprendre les méthodes de résolution et les compétences attendues. Que ce soit pour des calculs de pourcentages, la résolution d'équations du second degré, l'étude d'une fonction trigonométrique ou un problème d'optimisation, ce corrigé de contrôle de maths est la ressource parfaite pour progresser.
Première partie : Automatismes (QCM)
Cette première partie est un QCM de 12 questions conçu pour évaluer la maîtrise des savoir-faire de base et des automatismes de calcul. Les questions abordent une variété de thèmes :
- Calculs numériques : Comparaison de nombres sous différentes formes (fraction, écriture scientifique), simplification d'expressions avec des puissances.
- Calcul littéral : Isoler une inconnue dans une expression littérale, comme trouver \( u \) à partir de la relation \( 9v - 5u = 2 \). Il faut également savoir développer une expression polynomiale, notamment une identité remarquable comme \( 2(x - 1)^2 + 1 \).
- Pourcentages et proportions : Calculer une proportion d'élèves (60%), interpréter un coefficient multiplicateur (une multiplication par 0,75 correspond à une baisse de 25%), et calculer un taux d'évolution global suite à des évolutions successives (+10% puis -10%).
- Statistiques : Résolution d'un problème simple de moyenne pour trouver une note minimale à obtenir.
- Fonctions affines : Déterminer le coefficient directeur d'une droite d'équation \( y = \frac{10x + 5}{2} \), reconnaître la représentation graphique de la fonction \( x \mapsto 1-x \), et établir le tableau de signe de la fonction \( f(x) = 10x - 5 \).
- Lecture graphique : Résoudre graphiquement une inéquation de la forme \( f(x) < g(x) \) en comparant les positions relatives des deux courbes.
Deuxième partie, Exercice 1 : Étude d'un problème avec un polynôme du second degré
Cet exercice est un problème concret de géométrie dont la résolution passe par l'étude complète d'un polynôme du second degré. On considère un triangle \( ABC \) rectangle-isocèle en \( A \) et on cherche à analyser l'aire d'un rectangle \( AMNP \) inscrit dans ce triangle.
Les étapes de résolution sont les suivantes :
- Modélisation : En posant \( AM = x \), il faut d'abord exprimer l'aire du rectangle en fonction de \( x \). Grâce au théorème de Thalès, on démontre que l'aire est donnée par la fonction \( \mathcal{A}(x) = -x^2 + 10x \).
- Résolution d'inéquation du second degré : On demande de trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'aire est supérieure ou égale à 9. Cela revient à résoudre l'inéquation \( -x^2 + 10x \ge 9 \), ce qui nécessite de trouver les racines du trinôme \( -x^2 + 10x - 9 \) et d'étudier son signe.
- Résolution d'équation du second degré : Il faut ensuite déterminer pour quelles positions de \( M \) l'aire du rectangle est égale à 10% de l'aire du triangle, soit 5. On résout donc l'équation \( -x^2 + 10x = 5 \).
- Forme canonique et variations : Pour trouver le maximum de l'aire, l'exercice guide vers la détermination de la forme canonique de \( \mathcal{A}(x) \). On trouve \( \mathcal{A}(x) = -(x-5)^2 + 25 \). Cette forme permet de dresser facilement le tableau de variation de la fonction et de conclure.
- Problème d'optimisation : La dernière question consiste à utiliser les résultats précédents pour trouver la position \( x \) du point \( M \) qui rend l'aire maximale. Le sommet de la parabole, donné par la forme canonique, fournit directement la réponse.
Deuxième partie, Exercice 2 : Étude d'une fonction trigonométrique
Le dernier exercice se concentre sur l'analyse de la fonction trigonométrique \( f \) définie par \( f(x) = 3\sin(2x) \).
L'étude est structurée comme suit :
- Parité et périodicité : La première étape consiste à démontrer les propriétés fondamentales de la fonction. On montre que la fonction est impaire en vérifiant que \( f(-x) = -f(x) \) et qu'elle est périodique de période \( \pi \) en vérifiant que \( f(x+\pi) = f(x) \).
- Calcul de valeurs remarquables : Il est demandé de calculer les images de plusieurs angles, comme \( \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{6} \). Cela nécessite de connaître les valeurs des sinus des angles remarquables (\( \sin(\frac{\pi}{6}) \), \( \sin(\frac{\pi}{4}) \), \( \sin(\frac{\pi}{3}) \), etc.).
- Construction de la courbe : Les questions finales portent sur le tracé de la courbe représentative de \( f \). On explique comment utiliser la parité (symétrie par rapport à l'origine) et la périodicité (translation de vecteur \( \pi \vec{i} \)) pour construire la courbe sur un intervalle étendu à partir d'un intervalle d'étude plus restreint.
Ce sujet de Bac Blanc pour Première spécialité est donc très complet et permet de balayer une grande partie des compétences attendues sur les polynômes du second degré et la trigonométrie, tout en consolidant les automatismes essentiels.