Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première spécialité, axé sur les chapitres fondamentaux de la dérivation, des suites numériques et de la géométrie repérée. Ce sujet complet, d'une durée de 2 heures, est idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances. Il couvre un large éventail de compétences, de l'analyse de fonction au calcul vectoriel, en passant par la modélisation financière. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque exercice. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, Dérivation, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Géométrie repérée, Équation de tangente, Cercle, Vecteurs.

Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples sur la Dérivation

Ce premier exercice est un QCM de 4 questions conçu pour évaluer rapidement la maîtrise des techniques de base de la dérivation. Aucune justification n'est demandée, ce qui teste la rapidité et la précision du calcul.

• Question 1 : Calcul de la dérivée d'une fonction rationnelle. Il faut dériver la fonction \(f(x) = \frac{x^3 + 1}{3x^2 + 2}\) en appliquant la formule de dérivation d'un quotient \((u/v)' = (u'v - uv')/v^2\).
• Question 2 : Calcul du nombre dérivé. Il est demandé de trouver le nombre dérivé de la fonction \(h(x) = (4x - 2)^2\) en \(x=1\). Cela revient à calculer \(h'(1)\) en utilisant la dérivée d'une fonction composée ou en développant l'expression au préalable.
• Question 3 : Dérivation d'une fonction avec une racine carrée. L'objectif est de dériver \(g(x) = x^3\sqrt{x}\). Cette question peut être résolue en utilisant la formule de dérivation d'un produit \((uv)'\) ou en transformant l'expression en une puissance de x (\(x^{7/2}\)).
• Question 4 : Détermination d'une équation de tangente. Il faut trouver l'équation de la tangente à la courbe de la fonction polynomiale \(k(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 1\) au point d'abscisse 0, en utilisant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Exercice 2 : Modélisation avec les Suites Arithmétiques et Géométriques

Cet exercice aborde les suites numériques dans un contexte financier concret. Il s'agit de comparer deux propositions d'épargne pour un capital initial de 5000 €.

• Proposition 1 : Modélisée par une suite arithmétique \((U_n)\). Le compte est crédité de 110 € chaque année. Les questions portent sur le calcul des premiers termes (\(U_0, U_1\)), l'expression du terme général \(U_n\) en fonction de \(n\), et le calcul du capital à un horizon lointain (2040).
• Proposition 2 : Modélisée par une suite géométrique \((V_n)\). Le capital augmente de 2% chaque année. De même, il faut calculer les premiers termes, exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\), et calculer la valeur du capital en 2040.
• Comparaison et Algorithme : La dernière partie de l'exercice demande de comparer les deux options et de compléter un algorithme Python qui détermine, pour un nombre d'années \(n\) donné, quelle est la proposition la plus avantageuse.

Exercice 3 : Intersections et Caractéristiques de Cercles

Cet exercice de géométrie repérée se concentre sur les cercles, leurs équations et leurs intersections avec des droites.

• Question 1 : Détermination des points d'intersection entre un cercle et une droite. Deux cas sont proposés :
  • a. Un cercle donné par son équation cartésienne \(x^2 – 3x + y^2 + y - 16 = 0\) et une droite horizontale \(y = -4\). La résolution passe par la substitution et la résolution d'une équation du second degré.
  • b. Un cercle défini par son diamètre \([AB]\) avec \(A(-8; 6)\) et \(B(-4; -2)\), et une droite d'équation \(x+2y-8=0\). Il faut d'abord trouver l'équation du cercle avant de résoudre le système.
• Question 2 : Identification d'ensembles de points. À partir d'équations cartésiennes, il faut déterminer s'il s'agit de cercles et, si oui, donner leur centre et leur rayon. La méthode consiste à mettre l'équation sous sa forme canonique \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\) en complétant les carrés. Les deux équations à étudier sont \(x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0\) et \(x^2 + y^2 – 5x + y + 7 = 0\), l'une représentant un cercle et l'autre l'ensemble vide.

Exercice 4 : Problème complet de Géométrie Repérée

Cet exercice est un problème de synthèse en géométrie repérée, mobilisant vecteurs, équations de droites et de cercles dans un repère orthonormé.

• Partie 1 & 2 : Étude d'une droite \((d)\) d'équation \(x - 2y + 8 = 0\). Il faut déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal de \((d)\), puis trouver l'équation de la droite perpendiculaire à \((d)\) passant par le point \(A(6; 2)\).
• Partie 3 : Calcul du projeté orthogonal. On demande de calculer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(A\) sur \((d)\), ce qui revient à trouver l'intersection des deux droites.
• Partie 4, 5 & 6 : Étude d'un cercle \(\mathcal{C}\). Il faut déterminer l'équation du cercle de centre \(A\) passant par \(H\), vérifier si des points donnés appartiennent à ce cercle, et enfin calculer les coordonnées des points d'intersection du cercle avec l'axe des abscisses.

Exercice 5 : Modélisation d'un Phénomène Physique par une Suite

Cet exercice propose de modéliser un phénomène de ricochets à l'aide d'une suite géométrique. La distance parcourue par le caillou est divisée par deux à chaque rebond.

• Questions 1 & 2 : Il s'agit de reconnaître la nature de la suite \((r_n)\) modélisant les distances. En calculant les premiers termes \(r_0, r_1, r_2\), on identifie une suite géométrique, dont il faut donner la forme explicite \(r_n\) en fonction de \(n\).
• Question 3 : Calcul d'une somme de termes. On demande de calculer la distance totale parcourue par le caillou jusqu'à son 8ème rebond, ce qui nécessite d'utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
• Question 4 : Résolution de problème. La question finale est de déterminer si le caillou peut atteindre l'autre rive d'une rivière large de 15 mètres, en comparant la distance totale parcourue à cette largeur.

Exercice 6 : Détermination d'une Fonction Polynomiale

Le dernier exercice est un problème d'analyse où l'objectif est de retrouver l'expression complète d'une fonction polynomiale du troisième degré, \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), à partir de plusieurs informations graphiques et analytiques.

• Étape 1 : Calcul de la dérivée \(f'(x)\).
• Étape 2 : Traduction des informations en équations. Chaque condition sur la fonction ou sa courbe représentative fournit une équation liant les coefficients \(a, b, c, d\):
  • Le point \(A(1; 1)\) appartient à la courbe : \(f(1) = 1\).
  • La tangente en \(A\) a pour équation \(y = -2x+3\) : cela donne la valeur du nombre dérivé \(f'(1) = -2\).
  • La courbe coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 : \(f(0) = 2\), ce qui donne la valeur de \(d\).
  • On donne \(f'(0) = 5\), ce qui permet de trouver la valeur de \(c\).
• Étape 3 : Résolution du système d'équations pour trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) et conclure en donnant l'expression de \(f(x)\).