Contrôle de Mathématiques Corrigé : Dérivation et Produit Scalaire pour la Première Spécialité

Ce sujet de mathématiques, niveau Première spécialité, est un excellent entraînement pour maîtriser deux chapitres fondamentaux du programme : l'étude de fonctions via la dérivation et le produit scalaire dans le plan. D'une durée indicative d'une heure et trente minutes, ce contrôle est composé de quatre exercices variés qui permettent de balayer les compétences essentielles. Vous y trouverez des études de variations complètes, des applications concrètes à travers des problèmes, et de la géométrie analytique. Ce document est idéal pour réviser avant une évaluation, avec des exercices types qui ciblent les savoir-faire indispensables.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, dérivation, produit scalaire, étude de fonctions, variations, géométrie analytique.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de dérivation et étude de variations (10 points)

Cet exercice central évalue la capacité à étudier les variations de différentes natures de fonctions sur un intervalle donné. Pour chaque fonction, il est demandé de calculer la dérivée, d'étudier son signe, puis de dresser un tableau de variation complet, incluant les valeurs aux bornes.

• Fonction 1 : \(f(x) = \frac{50}{x^2+7}\) sur \(I = [-2; 2]\). Il s'agit d'une fonction rationnelle. La compétence clé est la dérivation d'un quotient de la forme \((\frac{u}{v})'\). On doit trouver \(f'(x)\), dont le signe dépendra de son numérateur, pour ensuite déduire la croissance et la décroissance de \(f\).
• Fonction 2 : \(g(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x - 5\) sur \(I = [0; 5]\). C'est une fonction polynôme du troisième degré. La dérivée, \(g'(x)\), est un polynôme du second degré. Il faut donc trouver les racines de ce trinôme pour étudier son signe et construire le tableau de variation de \(g\).
• Fonction 3 : \(h(x) = (-3x + 2)^3\) sur \(I = [0; 4]\). Cette fonction est une composée de la forme \(u^n\). Sa dérivation fait appel à la formule \((u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}\). L'étude du signe de \(h'(x)\) est simplifiée par la présence d'un carré.
• Fonction 4 : \(k(x) = -2x - \frac{8}{x}\) sur \(I = ]0; 10]\). Cette fonction est la somme d'une fonction affine et d'une fonction inverse. La dérivation est directe, et l'étude du signe de \(k'(x)\) demande de réduire l'expression au même dénominateur et d'étudier le signe d'un trinôme.

Exercice 2 : Application de l'étude de fonction à un problème concret (3 points)

Ce deuxième exercice illustre l'utilité de l'analyse de fonctions dans un contexte de marketing. La probabilité qu'un produit soit connu est modélisée par une fonction rationnelle \(p(x) = \frac{2x + 1}{5x + 10}\), où \(x\) représente le nombre de semaines.

• La première question demande d'interpréter le modèle : calculer la probabilité initiale (\(x=0\)) et résoudre une équation pour déterminer au bout de combien de temps un certain seuil de probabilité (0,25) est atteint.
• La seconde question est une étude de variation classique de la fonction \(p\) sur l'intervalle \([0; 26]\). Cela permet de comprendre comment la notoriété du produit évolue dans le temps, en montrant par exemple si elle croît constamment ou si elle atteint un plafond.

Exercice 3 : Problème d'optimisation (3,5 points)

Cet exercice aborde un problème d'optimisation, un des usages les plus puissants de la dérivation. On étudie l'évolution d'une population de singes modélisée par la fonction \(f(t) = (5t – t^2)^2 + 10\) sur un intervalle de 5 ans.

• Calcul de la dérivée : La première étape consiste à vérifier une forme factorisée de la dérivée \(f'(t)\). Cela nécessite de dériver une fonction composée de type \(u^2\) et de procéder à des factorisations.
• Tableau de variation : Grâce à la forme factorisée de \(f'(t)\), l'étude de son signe est facilitée. Il suffit de construire un tableau de signes pour en déduire les variations de la population de singes.
• Recherche du maximum : La dernière question est le cœur du problème d'optimisation. En utilisant le tableau de variation, on doit identifier le moment où la population de singes est maximale et quelle est la valeur de ce maximum.

Exercice 4 : Géométrie analytique avec le produit scalaire (3,5 points)

Le dernier exercice quitte l'analyse pour la géométrie dans un repère orthonormé. À partir des coordonnées de trois points A, B, et C, il s'agit d'utiliser les outils du produit scalaire pour analyser le triangle ABC.

• Calcul du produit scalaire : On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis on utilise la formule analytique du produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\).
• Calcul de normes : La deuxième question demande de calculer les longueurs des côtés AB et AC, ce qui correspond à la norme des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). La formule est \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\).
• Détermination d'un angle : La question finale consiste à trouver la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\). Pour cela, on utilise la seconde formule du produit scalaire, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{(\vec{u},\vec{v})})\), que l'on isole pour trouver le cosinus de l'angle, puis l'angle lui-même.