11. Équation d'un cercle de diamètre [AB] avec le produit scalaire

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment utiliser le produit scalaire pour trouver l'équation d'un cercle dont on vous a donné le diamètre et les coordonnées des points. On s'y met tout de suite.

Propriétés du cercle

Avant toute chose, il est important de savoir que si vous vous intéressez à un cercle qui a pour diamètre \(AB\), c'est-à-dire un cercle dont les deux points les plus éloignés du cercle sont \(A\) et \(B\), ce cercle a une propriété que nous devons retenir. C'est que quand vous avez le diamètre, n'importe quel point du cercle, par exemple celui-là, va dessiner avec \(A\) et \(B\) un triangle rectangle. Autrement dit, le troisième point que je mettrais n'importe où sur le cercle, il fera toujours un triangle rectangle. C'est génial, n'est-ce pas ? Du coup, quand vous avez un cercle comme ça, un triangle rectangle, ça doit vous rappeler quelque chose en termes de produit scalaire. Dans un triangle rectangle, via un angle droit, les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{BM}\) sont perpendiculaires, orthogonaux. Ces histoires d'orthogonalité, ça veut dire que leur produit scalaire vaut zéro.

Calcul du produit scalaire

Du coup, ce qu'on fait, c'est qu'on va lire ce point \(M\) dans le plan, on va lui donner les coordonnées \(x\) et \(y\). On va dire en fait que ces vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{BM}\) sont orthogonaux, du coup leur produit scalaire vaut zéro. Sauf que les coordonnées de \(A\), je peux les calculer, c'est celle de \(M\) moins celle de \(A\), donc \(x - 1\) et \(y - 2\), et \(BM\) pareil, c'est les coordonnées de \(M\) moins celle de \(B\), donc \(x - 5\) et \(y - 0\), donc juste \(y\). Je sais que ce produit scalaire vaut 0, sauf que quand vous faites le produit scalaire avec les coordonnées, c'est \(x - 1 \times x - 5 + y - 2 \times y = 0\). Je développe tout : \(x^2 - 6x + 5 + y^2 - 2y = 0\), et voilà, j'ai l'équation de mon cercle.

Conclusion

Quel problème, eh bien, c'est que vous voyez que cette équation, quand vous utilisez cette technique, la technique du produit scalaire, elle vous est donnée sous forme développée. Ce qui vous intéresse, c'est d'avoir une belle équation, écrite \(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), où \(r\) sera le rayon et \(a\) et \(b\) seront les coordonnées du centre. Soit vous passez de la forme développée à la forme canonique en utilisant la technique que nous avons déjà vue au début de ce chapitre, soit vous passez directement par la technique qui vous donne l'équation du cercle en fonction de son diamètre. C'est-à-dire, connaissant \(A\) et \(B\), on va commencer par trouver leur milieu, le milieu avec ses coordonnées ici et ici, et ensuite pour trouver le rayon, on aura juste à calculer une de ces distances, donc par exemple \(AM\) ou \(BM\), et ça va nous donner le rayon. On vous a mis plein de petits exercices en dessous, vous voyez que l'équation du cercle, il y a plein de manières d'y arriver. À vous de jouer, vous êtes des champions !