6. Trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons voir comment calculer très simplement le projeté orthogonal d'un point sur une droite. C'est un peu long, mais c'est que du plaisir. On s'y met tout de suite.

Calcul du projeté orthogonal

Prenons une droite AB. De manière générale, on a trois points A, B et C et on vous dit : "Je veux le projeté orthogonal de ce point C sur la droite AB". Le projeté orthogonal, il faut vraiment le voir comme si on lançait verticalement le point C sur la droite AB. Il faut que la trajectoire fasse un angle droit. Le projeté orthogonal que j'appelle par exemple H, est situé exactement ici. Comment est-ce qu'on va faire pour trouver ce projeté orthogonal ? On va le faire en trois étapes : 1. On va trouver l'équation de la droite AB. 2. On va trouver l'équation de la droite perpendiculaire à AB et qui passe par C. 3. On va chercher l'intersection de ces deux droites. Pour la droite AB, je veux calculer d'abord le vecteur AB. Ses coordonnées sont celles de B - A. Donc, le vecteur AB est un vecteur directeur de la droite AB. Donc, ce que je dis ici, c'est que si j'écris \(Ax + By + C = 0\), alors \(A = -B\) et \(B = A\). Donc, l'équation de la droite AB est \(x - y + C = 0\).

Calcul de l'équation de la droite perpendiculaire

Une fois qu'on a l'équation de la droite AB, je vais pouvoir trouver l'équation de la droite perpendiculaire à AB et qui passe par C. On l'a vu dans une autre leçon, le vecteur AB est un vecteur normal à la droite CH. Donc, l'équation de la droite CH est \(Ax + By + C = 0\), avec \(A = B\) et \(B = -A\). Je sais aussi qu'elle passe par le point C, donc je remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées de C, ce qui donne \(5 - 2 + C = 0\), donc \(C = -3\). Du coup, l'équation de CH est \(x + y - 3 = 0\).

Calcul de l'intersection des deux droites

J'ai les équations des deux droites. Comment est-ce que je fais ensuite pour trouver l'intersection de ces droites, c'est-à-dire le projeté orthogonal ? Je vais me demander quand est-ce que ces deux conditions sont réalisées ensemble, c'est-à-dire quand est-ce que j'ai à la fois \(x - y + 1 = 0\) et \(x + y - 3 = 0\). Pour résoudre ce système, on va procéder par substitution. C'est-à-dire que je vais prendre la première équation et je vais la transformer en faisant la somme des deux équations. En faisant ça, les \(y\) se simplifient et je me retrouve avec \(2x - 2 = 0\), autrement dit \(2x = 2\), donc \(x = 1\). En substituant \(x = 1\) dans la deuxième équation, on obtient \(1 + y - 3 = 0\), donc \(y = 2\). Les coordonnées du point d'intersection sont donc \(x = 1\) et \(y = 2\).

Vérification du calcul

Comment est-ce qu'on fait pour vérifier son calcul ? Comme le point H doit être sur la droite AB et sur la droite CH, on remplace \(x\) et \(y\) par les coordonnées de H dans les équations des deux droites et on vérifie que ça fait bien zéro. Donc, le point H est bien sur la droite AB et sur la droite CH, donc c'est le projeté orthogonal. Entraînez-vous avec des petits exercices, vous êtes des champions !