Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques pour la Première spécialité, entièrement dédié au chapitre sur les polynômes du second degré. Ce sujet, à traiter en 1 heure sans calculatrice, est un excellent moyen de vous entraîner et de valider vos connaissances sur les équations, les fonctions polynômes et la résolution de problèmes. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre les méthodes et les compétences requises.

Exercice 1 : Résolution d'équations variées

Cet exercice a pour but de tester votre agilité algébrique face à différents types d'équations qui se ramènent, pour la plupart, au second degré.

• Question 1 : Il s'agit de résoudre une équation du premier degré avec des racines carrées : \( x\sqrt{5} + 16 = 4 (x + \sqrt{5}) \). Une bonne révision des manipulations de base.
• Question 2 : On aborde une équation quadratique classique \( x^2 - x + 1 = 0 \). Le calcul du discriminant \( \Delta \) est ici central pour prouver l'absence de solutions dans l'ensemble des réels.
• Question 3 : L'équation \( x^2 + \frac{1}{2} = x\sqrt{2} \) est un cas d'école où le discriminant est nul, menant à une unique solution (racine double).
• Question 4 : Une équation de degré 3, \( x^3 + 2x^2 + x = 0 \), qui peut être résolue simplement en factorisant par \( x \) pour se ramener à une équation produit.
• Question 5 : L'équation rationnelle \( x + \frac{1}{x+1} = 3 \) demande de commencer par définir le domaine de validité avant de la transformer en une équation du second degré.

Exercice 2 : Étude complète de fonctions polynômes du second degré

Cet exercice fondamental vérifie votre maîtrise des différentes formes du trinôme et de leur utilité dans l'étude de fonction.

• Question 1 : Pour la fonction \( f(x) = 2x^2 - x - 6 \), la méthode consiste à identifier une racine évidente, puis à utiliser les relations entre coefficients et racines (somme et produit) pour trouver la seconde, et enfin, à en déduire la forme factorisée \( a(x-x_1)(x-x_2) \).
• Question 2 : L'étude de \( g(x) = -2x^2 + 7x - 5 \) passe par la détermination de sa forme canonique \( a(x-\alpha)^2 + \beta \) et l'établissement de son tableau de variation, en se basant sur le signe de \( a \) et les coordonnées du sommet.
• Question 3 : La même analyse est demandée pour \( h(x) = 4x^2 - 12x + 9 \), où la reconnaissance d'une identité remarquable peut grandement simplifier la tâche.

Exercice 3 : Un problème de trajectoires (Position relative)

Ce problème concret modélise le trajet d'une carpe et la position d'une épuisette par deux paraboles. La question 'L'épuisette peut-elle rencontrer la carpe ?' se traduit mathématiquement par la recherche de points d'intersection. Il faut donc étudier la position relative des deux courbes en résolvant l'équation \( f(x) = g(x) \). Le nombre de solutions de l'équation du second degré obtenue déterminera le nombre de points de rencontre possibles.

Exercice 4 : Mise en équation d'un problème

Ce dernier exercice évalue votre capacité à modéliser une situation. L'énoncé 'Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés est égale à 3613 ?' doit être traduit en une équation. En nommant \( n \) et \( n+1 \) les deux entiers, on aboutit à l'équation du second degré \( n^2 + (n+1)^2 = 3613 \). La résolution de cette équation et la nature de ses solutions (entières, naturelles) permettent de répondre à la question.