Ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la Première spécifique est une excellente préparation à l'épreuve anticipée. D'une durée de 2 heures, il aborde plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les probabilités conditionnelles, les suites numériques, les polynômes du second degré et les statistiques à deux variables. Ce contrôle corrigé permet de s'évaluer sur des exercices types et de renforcer ses compétences. La calculatrice est interdite, ce qui favorise la maîtrise du calcul mental et des techniques de base.

Première partie : Automatismes

Cette section, notée sur 6 points, vise à évaluer la rapidité et la justesse sur des compétences fondamentales. Aucune justification n'est requise. Les 12 questions couvrent un large spectre de notions :

• Pourcentages et évolutions : Questions sur le calcul d'un taux d'évolution (par exemple, d'un abonnement passant de 12€ à 15€), la recherche d'une valeur initiale après une hausse, et le calcul d'un taux d'évolution réciproque.
• Calcul numérique : Calcul simple avec des fractions comme \( \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} \).
• Équations et factorisation : Résolution d'une équation du premier degré (\( 4x - 7 = 2x + 5 \)) et factorisation d'un polynôme simple (\( x^2 - 6x \)).
• Lecture graphique : Interprétation de la courbe d'une fonction \(h\) pour résoudre graphiquement une équation (\( h(x) = 2 \)) et une inéquation (\( h(x) \ge 0 \)).
• Géométrie analytique : Détermination de l'équation réduite d'une droite connaissant son coefficient directeur et un point.
• Statistiques et Probabilités : Calcul de la moyenne d'une série statistique et calcul de la probabilité d'une intersection \( P(A \cap B) \) en utilisant la formule des probabilités conditionnelles \( P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \).

Exercice 1 : Les feux tricolores du trajet à vélo

Cet exercice de 5 points est un classique sur les probabilités conditionnelles et l'indépendance. Il s'agit de modéliser le passage de Naïm devant trois feux tricolores successifs.

• La première question demande de représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré à trois niveaux, en distinguant l'événement V "le feu est vert" (probabilité de 0,6) et son contraire.
• On calcule ensuite la probabilité de passer les trois feux sans s'arrêter, ce qui revient à calculer la probabilité de l'intersection de trois événements indépendants.
• L'exercice se poursuit avec le calcul de la probabilité de s'arrêter à exactement un feu, puis la probabilité de s'arrêter au moins une fois en utilisant l'événement contraire.
• Enfin, une question de réflexion teste la compréhension de la notion d'indépendance : le fait que les deux premiers feux soient verts influence-t-il la couleur du troisième ?

Exercice 2 : Les déchets non triés de la résidence

Ce problème de 4 points porte sur les suites numériques, et plus particulièrement les suites géométriques, pour modéliser l'évolution d'une masse de déchets.

• On commence par des calculs de taux d'évolution : d'abord le taux global sur deux ans, puis il faut démontrer que le taux d'évolution annuel moyen est de -10%.
• La situation est ensuite modélisée par une suite \( (d_n) \) représentant la masse de déchets l'année \(2024+n\). Il faut identifier la nature de cette suite (géométrique), puis donner son expression explicite en fonction de \(n\).
• À l'aide d'un tableau de valeurs fourni pour \( 0,9^n \), on doit déterminer l'année à partir de laquelle la masse de déchets passera sous un certain seuil (la moitié de la masse initiale).
• La dernière question porte sur l'interprétation et la limite du modèle, en discutant la pertinence d'une promesse du syndic pour l'année 2040. Cela fait appel à la notion de limite d'une suite géométrique.

Exercice 3 : Les dépenses de streaming d'un foyer

Ce dernier exercice sur 5 points mélange statistiques à deux variables et étude de polynômes du second degré pour modéliser l'évolution d'une dépense annuelle.

• La première partie est statistique : à partir d'un tableau de données et d'un nuage de points, il faut calculer les coordonnées du point moyen G.
• Un premier modèle d'ajustement affine est proposé (\( y = 20x + 96 \)). On vérifie qu'il passe par le point moyen, puis on l'utilise pour faire une prévision.
• Un second modèle, plus complexe, est introduit : une fonction parabolique \( g(x) = -x^2 + 24x + 96 \). L'étude de ce polynôme du second degré est au cœur de la question :
• On compare le modèle à la réalité en calculant une valeur.
• On résout l'équation \( g(x) = 96 \) pour trouver les années où la dépense est égale à la dépense initiale. Cela passe par une factorisation pour trouver les racines du polynôme.
• On détermine l'abscisse du sommet de la parabole pour trouver le maximum de la dépense et l'année correspondante.
• Finalement, l'exercice se conclut par une comparaison critique des deux modèles et de la fiabilité de leurs prévisions à long terme.