Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première (spécialité maths) portant sur les chapitres des suites géométriques et des fonctions exponentielles. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, ce test est idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances. Vous trouverez ici une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences requises pour réussir. Ce corrigé est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant approfondir leur compréhension des suites et de la croissance exponentielle.

Exercice 1 : Dix questions sur les suites (réponses courtes)

Cet exercice est conçu pour évaluer rapidement la maîtrise des bases des calculs de puissances et des définitions des suites géométriques. Chaque question teste une compétence fondamentale.

• Questions 1, 2, 3, 8 : Maîtrise des calculs de puissances. Il faut savoir calculer \(0,8^2\), \(2^{10}\), mais aussi des puissances non entières comme \(1,21^{1/2} = \sqrt{1,21} = 1,1\). La simplification de produits de puissances (\(3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6\)) est également testée.
• Question 4 : Application des pourcentages et des évolutions successives. Pour trouver le taux d'évolution annuel moyen correspondant à une multiplication par 1,44 en deux ans, il faut résoudre \(c^2 = 1,44\), où \(c\) est le coefficient multiplicateur annuel. On trouve \(c = \sqrt{1,44} = 1,2\), soit un taux de +20%.
• Questions 5, 6 : Calcul de termes d'une suite géométrique. Que la suite soit définie par son premier terme \(u(0)\) et sa raison \(q\) ou directement par sa forme explicite \(v(n) = 100 \times 0,5^n\), l'objectif est d'appliquer la formule pour trouver un terme de rang donné, par exemple \(u(4) = 5 \times 3^4\).
• Question 7 : Sens de variation d'une suite géométrique. Pour la suite \(w(n) = 2 \times 1,05^n\), il faut identifier la raison \(q=1,05\). Comme \(q > 1\) et le premier terme est positif, la suite est croissante.
• Question 9 : Modélisation d'une situation par une suite. Une augmentation de 4% par an se traduit par un coefficient multiplicateur de 1,04. Sur trois ans, la multiplication globale est de \(1,04^3\).
• Question 10 : Reconnaissance graphique d'une fonction exponentielle. Il faut identifier la courbe de la fonction \(x \mapsto 0,7^x\). Comme la base \(a=0,7\) est comprise entre 0 et 1, la fonction est décroissante, ce qui correspond à la courbe \(C_2\).

Exercice 2 : Trois suites à étudier

Cet exercice plus approfondi demande d'analyser trois suites différentes, en passant de l'observation à la formalisation mathématique.

• Suite (a(n)) : On part des premiers termes (3, 6, 12, 24). Il faut reconnaître une suite géométrique en constatant que le rapport entre deux termes consécutifs est constant : \(\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = 2\). La raison est donc \(q=2\). On peut alors déduire la forme explicite \(a(n) = a(0) \times q^n = 3 \times 2^n\) et l'utiliser pour calculer un terme lointain comme \(a(10)\).
• Suite (b(n)) : La suite est donnée par sa forme explicite \(b(n) = 500 \times 1,1^n\). Le travail consiste à calculer les premiers termes, puis à trouver la relation de récurrence en exprimant \(b(n+1)\) en fonction de \(b(n)\). On trouve \(b(n+1) = 500 \times 1,1^{n+1} = (500 \times 1,1^n) \times 1,1 = 1,1 \times b(n)\). Le sens de variation est ensuite déduit de la raison \(q=1,1 > 1\).
• Suite (d(n)) : La suite est définie par récurrence : \(d(0) = 64\) et \(d(n+1) = 0,75 \times d(n)\). Après avoir calculé les premiers termes, il faut trouver la forme explicite \(d(n) = 64 \times 0,75^n\). La question sur la représentation graphique est cruciale : les points de coordonnées \((n, d(n))\) ne sont pas alignés, ce qui confirme que la suite n'est pas arithmétique. Leur disposition sur une courbe décroissante est typique d'une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1.

Exercice 3 : La rumeur au lycée

Ce dernier exercice est un problème de modélisation complet, qui illustre la puissance mais aussi les limites de la croissance exponentielle. L'objectif est de trouver la suite qui modélise la propagation d'une rumeur.

On pose \(r(n)\) le nombre d'élèves connaissant la rumeur à l'heure \(n\).

• Étape 1 : Initialisation et récurrence. On a \(r(0)=3\). Chaque heure, chaque personne informée en informe deux autres. Le nombre total de personnes au courant est donc multiplié par 3. La relation de récurrence est \(r(n+1) = 3 \times r(n)\).
• Étape 2 : Analyse de la suite. On reconnaît une suite géométrique de raison \(q=3\) et de premier terme \(r(0)=3\). Sa forme explicite est donc \(r(n) = r(0) \times q^n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}\).
• Étape 3 : Application du modèle. Cette formule permet de calculer le nombre de personnes informées à n'importe quelle heure, comme \(r(5)\) ou \(r(8)\). Le problème demande ensuite de réfléchir au nombre de nouveaux élèves informés par heure, qui est \(r(n+1) - r(n) = 2 \times r(n)\).
• Étape 4 : Critique du modèle. Le calcul de \(r(20)\) donne un nombre astronomique (environ \(3 \times 9^{10}\)), bien supérieur à la population mondiale. Cela met en évidence que le modèle exponentiel n'est valable que pour un temps limité. En réalité, la propagation ralentit car le nombre de personnes non informées diminue, jusqu'à s'épuiser. Le modèle ne peut dépasser la population totale du lycée (1200 élèves), ce qui rend le dépassement impossible.

En conclusion, ce sujet de maths est un excellent outil de révision qui balaye les compétences essentielles sur les suites géométriques, du calcul simple à la modélisation complexe, en passant par l'analyse de leur variation et leur représentation graphique.