Ce document est le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première, spécialité maths. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, ce sujet porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les suites arithmétiques et les fonctions affines. Idéal pour s'entraîner et réviser, ce corrigé complet vous guide pas à pas à travers des exercices de calculs rapides, de la modélisation d'un phénomène réel et une étude comparative de différentes formules commerciales.

Découvrez comment maîtriser les notions essentielles, de la reconnaissance d'une suite à l'interprétation graphique d'une fonction, en passant par la résolution d'équations et d'inéquations dans des contextes concrets. Ce sujet de maths type évaluation vous prépare efficacement aux exigences du lycée.

Exercice 1 : Cinq calculs en rafale

Cet exercice est un QCM sans justification demandée qui vise à évaluer la maîtrise des définitions et formules de base sur les suites arithmétiques et les fonctions affines. C'est un excellent moyen de vérifier ses connaissances fondamentales.

• Question 1 : Calcul du terme d'une suite arithmétique. Étant donné une suite \((u_n)\) définie par son premier terme \(u(0) = 7\) et sa relation de récurrence \(u(n + 1) = u(n) + 3\), il faut calculer la valeur de \(u(3)\).
• Question 2 : Identification de la raison d'une suite. Pour une suite \((u_n)\) donnée par sa forme explicite \(u(n) = 5 - 2n\), l'objectif est de déterminer sa raison.
• Question 3 : Calcul d'un terme initial. On considère une suite arithmétique \((v_n)\) de raison \(r=4\) et telle que \(v(2) = 10\). La question est de retrouver la valeur du terme initial \(v(0)\).
• Question 4 : Coefficient directeur d'une droite. Il s'agit de calculer le coefficient directeur de la droite passant par deux points donnés, \(A(1; 3)\) et \(B(4; 12)\), en utilisant la formule \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• Question 5 : Résolution d'une équation. Pour la fonction affine \(f\) définie par \(f(x) = 20 - 1,5x\), il faut trouver l'antécédent de 5, c'est-à-dire résoudre l'équation \(f(x) = 5\).

Exercice 2 : Le niveau moyen des océans depuis 1993

Ce problème concret et d'actualité propose de modéliser l'évolution de la hausse du niveau des océans à l'aide d'une suite arithmétique. Il fait appel à des compétences d'analyse, de modélisation et d'interprétation.

• Question 1 : Lecture et analyse de données. À partir d'un tableau de mesures, on calcule la hausse par décennie pour vérifier si une croissance linéaire est une approximation pertinente.
• Question 2 : Modélisation par une suite. On modélise la hausse par une suite \((h_n)\) où \(h(n)\) est la hausse en mm, \(n\) années après 1993. On suppose une hausse constante de \(3,3\) mm par an. Il faut exprimer \(h(n+1)\) en fonction de \(h(n)\), identifier la nature de la suite (arithmétique) et donner sa forme explicite \(h(n) = h(0) + n \times r\).
• Question 3 : Application et comparaison. On calcule une valeur prédite par le modèle (\(h(30)\)) et on la compare à la valeur réelle du document pour l'année 2023.
• Question 4 : Interprétation graphique. On justifie pourquoi les points de coordonnées \((n; h(n))\) sont alignés et on donne le coefficient directeur de la droite qui les porte, en faisant le lien direct entre la raison de la suite et la pente de la droite.
• Question 5 : Extrapolation et interprétation. L'exercice demande de calculer la hausse en 2100 (\(h(107)\)) et à une autre date (\(h(77)\)) pour donner un sens précis à une affirmation journalistique.
• Question 6 : Résolution d'inéquation. On cherche à partir de quelle année la hausse dépassera un certain seuil (20 cm). Cela se traduit par la résolution de l'inéquation \(h(n) > 200\).
• Question 7 : Analyse critique du modèle. En s'appuyant sur les documents qui indiquent une accélération de la hausse, on doit évaluer si le modèle linéaire a tendance à sur-estimer ou sous-estimer la réalité future.

Exercice 3 : La salle d'escalade : trois formules

Cet exercice classique d'étude comparative met en jeu des fonctions affines et linéaires pour modéliser des offres commerciales. Il permet de travailler la représentation graphique, la résolution d'équations et d'inéquations, et l'interprétation des résultats dans un contexte économique.

• Question 1 : Calculs de coûts. Application numérique simple pour calculer le coût de 8 entrées avec trois formules différentes.
• Question 2 : Expression des fonctions. Il faut traduire les formules A et B en expressions mathématiques, \(f(x) = 12x\) (fonction linéaire) et \(g(x) = 60 + 6x\) (fonction affine).
• Question 3 : Représentation graphique. On demande de tracer les droites représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère.
• Question 4 : Interprétation du coefficient directeur. Il faut identifier le coefficient directeur de la droite représentant \(g\) et expliquer ce qu'il représente concrètement (le prix par entrée après avoir payé la carte annuelle).
• Question 5 : Intersection de deux droites. La résolution de l'équation \(f(x) = g(x)\) permet de trouver le nombre d'entrées pour lequel les deux formules ont le même coût. Le résultat doit être interprété.
• Question 6 : Position relative et inéquation. On cherche à savoir à partir de combien d'entrées la formule C (forfait illimité à 240€) devient plus avantageuse que la formule B. Cela revient à résoudre l'inéquation \(g(x) > 240\).