Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, entièrement dédié aux chapitres sur les suites arithmétiques et les fonctions affines. Ce document PDF, proposé sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant s'entraîner sur des problèmes concrets et des applications économiques. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque exercice, renforçant votre compréhension des concepts clés.

Ce contrôle corrigé est structuré en trois exercices indépendants qui couvrent l'ensemble des compétences attendues sur ces thématiques : modélisation d'une situation par une suite, étude complète de fonctions affines dans un contexte économique et calcul d'impôts par tranches.

Exercice 1 : Le plan d'entraînement d'une coureuse

Ce premier exercice est une application classique des suites arithmétiques dans un contexte de préparation sportive. On suit l'entraînement d'Anouk pour un semi-marathon, où sa distance de course augmente de manière constante chaque semaine.

• Question 1 : Il s'agit d'une mise en route qui demande de calculer les termes u(2) et u(3) de la suite, sachant que le premier terme est u(1) = 12 et que la distance augmente de 1,5 km chaque semaine. Cela permet de vérifier la bonne compréhension de la situation.
• Question 2 : Cette question formalise la situation en demandant d'exprimer u(n+1) en fonction de u(n). On doit reconnaître la relation u(n+1) = u(n) + 1,5, caractéristique d'une suite arithmétique, et en préciser la nature ainsi que la raison r = 1,5.
• Question 3 : L'objectif est de démontrer la forme explicite de la suite. En utilisant la formule du cours u(n) = u(1) + (n-1)r, on doit prouver que, pour tout entier n ≥ 1, on a u(n) = 10,5 + 1,5n. C'est une compétence fondamentale sur les suites arithmétiques.
• Question 4 : Application directe de la formule explicite pour calculer une valeur précise, en l'occurrence la distance parcourue pendant la dixième semaine, u(10).
• Question 5 : Cette question fait appel à la résolution d'inéquations. Il faut déterminer le rang n à partir duquel la distance hebdomadaire dépassera 30 km. Cela se traduit par la résolution de l'inéquation du premier degré 10,5 + 1,5n > 30.

Exercice 2 : Le marché des paniers de légumes

Cet exercice, plus conséquent, est une étude de cas économique modélisant l'offre et la demande à l'aide de fonctions affines. C'est un excellent exemple de l'application des mathématiques à l'économie.

Partie A – La demande

On étudie la fonction demande d(p) = 400 - 25p, qui représente le nombre de paniers que les clients achèteraient en fonction du prix p.

• Question 1 : Il est demandé de calculer l'image de 4 par la fonction d, soit d(4), et d'interpréter ce résultat concret : "Pour un prix de 4€, la demande est de 300 paniers".
• Question 2 : On analyse ici le sens de variation de la fonction demande. Comme c'est une fonction affine avec un coefficient directeur négatif (-25), elle est décroissante. L'interprétation économique est simple : plus le prix augmente, moins les clients achètent de paniers.
• Question 3 : Cette question revient à trouver la racine de la fonction, c'est-à-dire le prix pour lequel la demande est nulle en résolvant l'équation d(p) = 0.

Partie B – L'offre et le prix d'équilibre

On introduit la fonction offre o(p) = 25p - 50 et on la confronte à la demande.

• Question 4 : Calculs simples d'images pour la fonction offre, o(4) et o(10).
• Question 5 : Compétence graphique essentielle, il faut représenter les deux fonctions affines d et o dans le repère fourni. Il s'agit de tracer deux droites.
• Question 6 : La notion de prix d'équilibre est centrale. Il faut le déterminer d'abord par lecture graphique (point d'intersection des deux droites), puis le confirmer par le calcul en résolvant l'équation d(p) = o(p).

Partie C – Une aide de la mairie

• Question 7 : On analyse une situation de déséquilibre du marché pour un prix fixé arbitrairement à 6€. En calculant d(6) et o(6), on constate que la demande est supérieure à l'offre.
• Question 8 : Une subvention modifie la fonction d'offre. Il faut établir la nouvelle fonction o₂(p), puis calculer le nouveau point d'équilibre en résolvant une nouvelle équation. Cela permet d'analyser l'impact d'une politique économique.

Exercice 3 : L'impôt sur le revenu : la copie de Sami

Ce dernier exercice aborde un sujet de société : le calcul de l'impôt sur le revenu. Il est prétexte à une analyse de modèle par tranches, qui se ramène à une fonction affine par morceaux.

• Question 1 : Il s'agit d'un exercice d'analyse et de raisonnement. Il faut identifier l'erreur conceptuelle de Sami, qui applique le taux de la tranche la plus élevée à l'ensemble de ses revenus.
• Question 2 : On demande de réaliser le calcul correct de l'impôt pour un revenu de 30 000 €, en appliquant chaque taux à la partie du revenu se trouvant dans la tranche correspondante.
• Question 3 : Calcul du taux moyen d'imposition (total de l'impôt divisé par le revenu total), qui permet de mettre en évidence l'écart avec le taux marginal de 30%.
• Question 4 : La dernière question est un exercice de modélisation. Il faut établir l'expression de la fonction I(R) qui donne l'impôt pour un revenu R dans une tranche spécifique. On doit montrer que I(R) = 0,3R - 5850, reconnaître une fonction affine et interpréter son coefficient directeur (le taux marginal d'imposition) et son ordonnée à l'origine.