1. Résoudre une inéquation du 1er degré

Introduction

Allons-y, nous allons voir comment résoudre des inéquations avec un cas très simple et un cas un peu plus compliqué pour que vous puissiez faire tous les petits exercices qui seront vos amis en dessous.

Résolution d'une inéquation simple

Pour résoudre une inéquation, c'est quasiment la même chose que pour une équation. On va prendre notre inéquation, on va se débrouiller pour avoir \(x\) tout seul d'un côté. Une fois qu'on aura \(x\) seul d'un côté, on va devoir supprimer le coefficient qui est devant à l'aide d'une division. Prenons par exemple l'inéquation \(2 - 3x > 0\). Le \(2\) m'embête donc ce que je vais faire, c'est que je vais soustraire \(2\) des deux côtés de l'inéquation. En faisant cela, le \(2\) va disparaître donc je vais me retrouver avec de ce côté juste \(-3x\) et de ce côté-là \(0 - 2\), soit \(-2\). La question que vous devez vous poser avec les inéquations et que vous ne vous posiez pas avec les équations, c'est qu'est-ce qu'il advient du signe. Autrement dit, quelles sont les règles pour changer ou ne pas changer le signe d'une inéquation. En seconde, vous avez deux règles : la première, c'est que l'on change de signe quand on multiplie ou qu'on divise par un nombre négatif et la deuxième, c'est que dans tous les autres cas on ne change pas le signe. Dans notre cas, quand j'ai fait \(0 - 2\), est-ce que j'ai multiplié ou divisé par un nombre négatif ? Non, du coup le signe reste et je me retrouve avec \(-3x > -2\). Pour avoir \(x\) seul d'un côté, l'étape suivante est de supprimer le coefficient multiplicateur, donc \(-3x\). Je vais me débarrasser du \(-3\). Comment est-ce que je peux me débarrasser de \(-3\) ? J'ai regardé mon \(-3\), il était multiplié par \(x\), du coup pour débarrasser \(x\) de \(-3\), il va falloir faire l'inverse de la multiplication. L'inverse de la multiplication, c'est la division, donc je vais tout diviser par \(-3\). Il va me rester à gauche \(-3x / -3\), qui simplifie en \(x\), et à droite \(-2 / -3\), qui simplifie en \(2/3\). Et qu'est-ce qu'il advient du signe ? Est-ce que je le change ou est-ce que je ne le change pas ? Je le change, parce que la règle est que quand je multiplie ou je divise, ce que je viens de faire, par un nombre négatif, alors on change le signe. Donc, on obtient \(x < 2/3\).

Résolution d'une inéquation plus complexe

Prenons un cas légèrement plus compliqué, par exemple l'inéquation \(5x + 1 - 2x > 0\). Comment est-ce qu'on va faire ? On va prendre tout ce qui est ici et on va le balancer de l'autre côté. Donc mon \(- 2x\) va devenir \(+ 2x\), donc l'inéquation va se transformer en \(5x + 2x > -1\). Ensuite, je trie mes \(x\) ensemble, \(5x + 2x\) ça fait \(7x\), et \(-1\) reste tel quel. Donc, j'obtiens \(7x > -1\). Je commence par prendre le \(-1\), je l'envoie de l'autre côté, il va devenir \(+1\), donc je me retrouve avec \(7x > 1\). Est-ce que je change le signe ou est-ce que je ne le change pas ? Ici, effectivement, \(-1\) est devenu \(+1\), mais on n'a pas multiplié ou divisé, qu'est-ce qu'on a fait en fait ? On a ajouté \(1\) de chaque côté. Quand j'ajoute ou je soustrais, je ne change pas le signe. Il ne reste plus qu'à se débarrasser du \(7\), donc qu'est-ce que je vais faire ? Je vais tout diviser par \(7\), comme ça le \(7\) de ce côté et celui de ce côté vont se simplifier. Je me retrouve avec \(x > 1/7\). Est-ce que le signe change ? Non, j'ai divisé par un nombre positif, je n'ai pas multiplié ou divisé par un nombre négatif, du coup le signe ne change pas. Donc, on obtient \(x > 1/7\) et on peut dire que les solutions sont \(1/7\) jusqu'à l'infini. Vous avez des exercices en dessous, à vous de jouer. Faites-les, c'est vraiment les basiques. Plus vous êtes bon à ça, plus vous serez bon pour le reste.