Ce sujet de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, est un contrôle d'une heure portant exclusivement sur le chapitre des polynômes du second degré. La calculatrice est interdite, ce qui met l'accent sur la maîtrise des techniques de calcul et de raisonnement. Ce document est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions clés des fonctions trinômes, de leurs représentations graphiques (paraboles) et de leurs applications. Retrouvez un exemple de contrôle corrigé pour vous préparer efficacement.

Exercice 1 : Quatre paraboles, quatre expressions

Cet exercice est un classique qui teste la capacité à lier les différentes formes d'un polynôme du second degré à sa représentation graphique. Quatre fonctions sont données :

• \( f(x) = x^2 - 4 \) (forme développée)
• \( g(x) = -0,5x^2 \) (forme simple)
• \( h(x) = (x-1)(x-3) \) (forme factorisée)
• \( k(x) = -(x+1)(x-3) \) (forme factorisée)

L'objectif est d'associer chaque fonction à sa parabole parmi quatre graphiques. Pour cela, il faut mobiliser plusieurs savoir-faire :

• Orientation de la parabole : analyser le signe du coefficient dominant \(a\). Si \(a > 0\), la parabole est "tournée vers le haut" ; si \(a < 0\), elle est "tournée vers le bas".
• Intersection avec l'axe des abscisses : utiliser la forme factorisée pour identifier les racines du polynôme, qui correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des \(x\). Par exemple, pour \(h(x)\), les racines sont \(x=1\) et \(x=3\).
• Analyse de la fonction \(h(x)\) : l'exercice se concentre ensuite sur la fonction \(h(x)\). Il est demandé de déterminer ses racines, de dresser son tableau de signe (positif à l'extérieur des racines car \(a=1 > 0\)), de calculer les coordonnées de son sommet (l'abscisse du sommet est la moyenne des racines, \( \alpha = \frac{1+3}{2} = 2 \), et l'ordonnée est \( \beta = h(2) \)), et enfin de dresser son tableau de variation.

Exercice 2 : Le coup de pied en cloche

Cet exercice est une mise en situation concrète utilisant les polynômes du second degré pour modéliser la trajectoire d'un ballon de rugby. La hauteur \(h\) en fonction de la distance horizontale \(x\) est donnée par la fonction \( h(x) = -0,02x(x-40) \) sur l'intervalle \( [0; 40] \).

Les questions visent à interpréter le modèle mathématique :

• Calculer des images pour trouver la hauteur à une distance donnée (\(h(10)\) et \(h(20)\)).
• Résoudre l'équation \(h(x)=0\) pour trouver les points de départ et d'arrivée du ballon (les racines \(x=0\) et \(x=40\)).
• Travailler sur l'équation \(h(x)=6\) en montrant d'abord une forme factorisée de \(h(x)-6\). Cela revient à trouver les coordonnées des points d'intersection entre la parabole et la droite d'équation \(y=6\).
• Déterminer l'axe de symétrie de la trajectoire (\(x=20\)) et la hauteur maximale atteinte, qui correspond à l'ordonnée du sommet de la parabole.
• Répondre à une question concrète : le ballon passe-t-il au-dessus d'un obstacle ? Cela demande de calculer une image et de la comparer à une valeur donnée.

Exercice 3 : La copie de Timéo

Cet exercice original et pédagogique propose d'analyser et de corriger les erreurs commises par un élève fictif, Timéo. C'est un excellent moyen de tester la compréhension en profondeur des concepts en évitant les pièges courants. La fonction étudiée est \( f(x) = 3(x-2)(x+4) \).

Le travail consiste à :

• Identifier l'erreur sur les racines : Timéo a confondu les signes en résolvant l'équation produit nul \( (x-2)(x+4)=0 \). Il faut trouver les bonnes racines, qui sont \(x=2\) et \(x=-4\).
• Corriger le tableau de signe : L'erreur sur les racines entraîne une erreur sur le signe du polynôme. Il faut expliquer la règle du "signe de \(a\) à l'extérieur des racines". Ici, comme \(a=3>0\), \(f(x)\) est positive pour \(x \in ]-\infty; -4[ \cup ]2; +\infty[\).
• Recalculer les coordonnées du sommet : La méthode de Timéo pour trouver l'axe de symétrie (moyenne des racines) est correcte, mais ses données initiales étant fausses, son résultat l'est aussi. Il faut refaire le calcul avec les bonnes racines.
• Mettre en évidence une contradiction logique : La dernière question fait appel au bon sens. Timéo affirme que la fonction est positive entre -2 et 4, mais calcule \(f(1)=-15\). Comme \(1\) est bien dans cet intervalle, il est impossible d'avoir un résultat négatif, ce qui aurait dû l'alerter sur une erreur.

Ce sujet complet est un excellent entraînement pour tout élève de première souhaitant maîtriser le chapitre sur les fonctions polynômes du second degré.