27. Trouver l'expression d'un polynôme par lecture graphique

Introduction

Dans cet exercice, nous allons apprendre à donner la forme développée d'un polynôme à partir de sa représentation graphique. Je vous ai donné quatre cas et pour chaque cas, je vous demande de donner la forme développée du polynôme. Pour bien comprendre cet exercice, il faut raisonner de la manière suivante : sachez que, quoi qu'il arrive, vous n'avez que deux manières d'écrire un polynôme, soit sa forme canonique, soit sa forme factorisée \(x(x - \alpha)(x - \beta)\). Vous allez voir que dans chacun de ces exercices, on va vous donner au moins soit \(\alpha\) et \(\beta\), soit \(x_1\) et \(x_2\). Donc, juste en regardant le graphique, vous serez capable de dire : "C'est pas compliqué, \(\alpha\) vaut ceci, \(\beta\) vaut cela".

Premier cas

Regardons le premier cas. Je vous ai donné les coordonnées du sommet. On voit que \(-5\) et \(-2\) se trouvent au sommet. Donc, juste en regardant ça, je peux dire que \(\alpha = -2\) et \(\beta = -5\). Donc, mon polynôme, qui s'écrit forcément \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), est égal à \(a(x + 2)^2 - 5\). Le travail est quasiment fini, car vous n'avez plus qu'à trouver \(a\). Une fois que vous avez trouvé \(a\), vous avez la forme canonique et à partir de la forme canonique, vous pouvez développer pour obtenir la forme développée. Comment allons-nous trouver \(a\) ? Nous allons utiliser le deuxième indice qui est donné dans l'énoncé, c'est-à-dire un point de passage. On sait que quand \(x = -1\), \(f(x) = 0\). Autrement dit, quand je remplace ici \(x\) par \(-1\), donc \(-1 + 2\)^2 - 5, je sais que \(f(x) = 0\). C'est terminé, car avec ça, on va pouvoir trouver \(a\).

Deuxième cas

Pour le deuxième cas, je vous ai encore une fois donné les coordonnées du sommet. Donc, vous pouvez d'ores et déjà dire que \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), où \(\alpha = 1.5\) et \(\beta = -1\). Comment allons-nous nous débarrasser de \(a\) ? En trouvant un point de passage. Quel point de passage prendriez-vous pour cette fonction ? Vous remarquerez que cette fonction passe par l'origine. Autrement dit, si elle passe par l'origine, ça veut dire que \(f(0) = 0\). Je prends cette expression et je remplace \(x\) par \(0\), donc j'obtiens \(0 = a(0 - 1.5)^2 - 1\). Cela donne \(0 = a(2.25) - 1\), donc \(a = 1/2.25\).

Troisième cas

Dans cet exercice, je vous ai donné ces deux points, qui sont les racines du polynôme. Donc, plutôt que d'utiliser la forme canonique, quand on vous donne \(x_1\) et \(x_2\), vous allez utiliser la forme développée en remplaçant \(x_1\) par \(-7\) et \(x_2\) par \(-5\). Donc, vous savez que vous allez vous retrouver avec \(f(x) = a(x + 7)(x + 5)\). Encore une fois, vous vous retrouvez avec \(a\) que vous ne connaissez pas. Comment allez-vous gérer cela ? En utilisant un point de passage. Je remplace ici \(x\) par \(2\) et \(f(x)\) par \(3\), et on résout cela pour trouver \(a\).

Quatrième cas

Pour le dernier exemple, nous avons les deux racines, donc nous allons plutôt utiliser la forme développée, vu que c'est celle qui utilise \(x_1\) et \(x_2\). Pour le point de passage, nous trouvons que quand \(x = 0\), \(f(x) = 5\). Donc, nous remplaçons \(x\) par \(0\) et \(f(x)\) par \(5\) pour trouver \(a\). Entraînez-vous sur l'exercice en bas, même si vous avez compris. Faites-vous un ou des exercices, cela va vous aider à mieux comprendre.