Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, centré sur le chapitre des statistiques à deux variables. Il s'agit d'un sujet complet d'une heure, avec calculatrice autorisée, qui évalue la compréhension des concepts fondamentaux de l'ajustement affine. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement à une évaluation sur ce thème, en passant en revue la construction d'un nuage de points, le calcul du point moyen, l'utilisation d'une droite d'ajustement pour réaliser des estimations et, pour finir, l'analyse critique d'une copie d'élève. Ce sujet de maths est un excellent outil pour réviser et maîtriser les compétences clés du programme de Terminale STI2D.

Exercice 1 : Trois réflexes devant un nuage (QCM) – 6 points

Ce premier exercice est un QCM conçu pour vérifier rapidement les trois réflexes essentiels devant un nuage de points. Une seule proposition est exacte par question, et chaque choix doit être justifié : une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

• Question 1 : Cette question porte sur la définition du point moyen d'un nuage de points \((x_i ; y_i)\). Ses coordonnées sont les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées : la bonne réponse est \(G(\bar{x} ; \bar{y})\). Le corrigé insiste sur un piège classique : \(G\) n'est pas « le point le plus central » du nuage, c'est un point calculé, qui n'appartient généralement pas au nuage.
• Question 2 : On s'interroge sur l'utilité d'une droite d'ajustement affine. Son but n'est ni de relier tous les points, ni de supprimer des points aberrants, mais de fournir un modèle pour estimer des valeurs non mesurées, par interpolation entre les mesures ou par extrapolation au-delà. Elle passe « au milieu » du nuage, et c'est justement ce qui la rend utile.
• Question 3 : Application directe d'un modèle : avec la droite d'équation \(y = 0{,}02x\), on estime \(y\) pour \(x = 450\) : \(y = 0{,}02 \times 450 = 9\). Les propositions fausses correspondent à des erreurs typiques, une division par \(0{,}02\) au lieu d'une multiplication (\(22\,500\)) ou une erreur de virgule.

Exercice 2 : L'allongement d'un ressort – 8 points

Cet exercice est une mise en situation concrète : pour étalonner un peson, on suspend différentes masses à un ressort et on mesure son allongement. C'est un cas d'école de l'ajustement affine en physique.

• Question 1 : La première étape consiste à représenter les cinq points du tableau dans le repère fourni en annexe, avec l'échelle imposée : 1 cm pour 50 g en abscisse et \(0{,}5\) cm pour 1 cm d'allongement en ordonnée. Les points sont sensiblement alignés, ce qui justifie un ajustement affine.
• Question 2 : On calcule les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x} ; \bar{y})\) : $$ \bar{x} = \frac{100+200+300+400+500}{5} = 300 \text{ g} $$ $$ \bar{y} = \frac{2{,}0+4{,}1+5{,}9+8{,}1+9{,}9}{5} = \frac{30}{5} = 6 \text{ cm} $$ Le point moyen a donc pour coordonnées \(G(300 ; 6)\).
• Question 3 : Cette question aborde l'ajustement affine « au jugé » : après avoir placé \(G\), on trace une droite qui passe par \(G\), laisse autant de points au-dessus qu'en dessous et passe, à peu près, par les points extrêmes \((100 ; 2{,}0)\) et \((500 ; 9{,}9)\).
• Question 4 : On retient l'ajustement d'équation \(y = 0{,}02x\) et l'on vérifie qu'il passe par \(G\) : \(y = 0{,}02 \times 300 = 6\), c'est bien l'ordonnée du point moyen. Le corrigé précise que cette droite est un ajustement arrondi : la droite des moindres carrés, obtenue à la calculatrice, a pour équation \(y \approx 0{,}0198x + 0{,}06\) ; elle passe elle aussi par \(G\), comme toute droite des moindres carrés, et reste très proche de la première sur l'intervalle des mesures.
• Question 5 : Il s'agit d'utiliser le modèle pour une estimation par interpolation : pour une masse de 350 g, comprise entre les masses mesurées, \(y = 0{,}02 \times 350 = 7\) cm. L'estimation est donc fiable.

Exercice 3 : Un ressort chargé de 3 kg (copie d'élève) – 6 points

Ce dernier exercice est un exercice d'analyse critique. On reprend le nuage et l'ajustement de l'exercice 2, et l'on examine la copie d'un élève qui a utilisé le modèle pour une masse très éloignée des données initiales. Il s'agit de comprendre les limites d'un modèle mathématique, un aspect crucial de la démarche scientifique.

• Question 1 : L'élève a converti 3 kg en 3 000 g puis calculé \(y = 0{,}02 \times 3\,000 = 60\) cm. Son calcul est juste : l'erreur n'est pas dans le calcul, mais dans l'usage qu'il fait du modèle.
• Question 2 : Les mesures ont été faites entre 100 g et 500 g. La valeur de 3 000 g est six fois plus grande que la plus grande masse mesurée : on ne fait plus de l'interpolation mais une extrapolation lointaine, que rien dans les données ne garantit.
• Question 3 : Cette question introduit une contrainte physique : le domaine élastique du ressort. Au-delà, le ressort se déforme de façon permanente puis finit par casser, et l'allongement cesse d'être proportionnel à la masse. Un allongement de 60 cm, pour un ressort qui ne s'allonge que de 10 cm environ sur l'intervalle mesuré, n'a aucune vraisemblance physique.
• Question 4 : On rédige enfin une réponse correcte : le calcul donnerait 60 cm, mais ce résultat n'a pas de sens, car une masse de 3 kg sort très largement du domaine de validité du modèle ; on ne peut pas répondre sans nouvelles mesures. À retenir : c'est la situation étudiée, et non les seules mathématiques, qui dit jusqu'où un modèle tient.

En conclusion, ce contrôle corrigé sur les statistiques à deux variables pour la Terminale STI2D couvre l'ensemble des compétences attendues : représenter un nuage de points, calculer et interpréter le point moyen, utiliser une droite d'ajustement pour prédire des valeurs, et surtout, porter un regard critique sur la validité d'un modèle en dehors de son domaine d'étude.