Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Première STI2D : Sujet Complet

Découvrez une analyse détaillée et un corrigé pas à pas de ce devoir commun de mathématiques pour le niveau Première STI2D. Ce sujet, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, est une excellente ressource pour réviser et s'entraîner sur des chapitres fondamentaux du programme : les automatismes, la trigonométrie, le produit scalaire, et les nombres complexes. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant consolider leurs bases et se préparer efficacement aux évaluations.

Première partie : Automatismes (réponses courtes)

Au format de l'épreuve anticipée de mathématiques (session 2028), cette première partie comporte 12 questions à réponse courte, notées 0,5 point chacune (6 points), sans calculatrice et sans justification : on écrit seulement le résultat.

• Question 1 : Prix de 120 € augmenté de 15 % : 138 €.
• Question 2 : Taux d'évolution d'une facture qui passe de 80 € à 60 € : −25 %.
• Question 3 : Développer \((x+3)(x-2)\) : \(x^2+x-6\).
• Question 4 : Équation de la droite passant par \((1\,;\,1)\) et \((3\,;\,5)\) : \(y=2x-1\).
• Question 5 : Conversion de 225° en radians : \(\frac{5\pi}{4}\).
• Question 6 : Valeur exacte de \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\).
• Question 7 : Produit scalaire de \(\vec{u}(2\,;\,-5)\) et \(\vec{v}(3\,;\,1)\) : \(2\times3+(-5)\times1=1\).
• Question 8 : Module de \(5-12i\) : \(\sqrt{25+144}=13\).
• Question 9 : Conjugué de \(4-3i\) : \(4+3i\).
• Question 10 : Produit \((2+i)(2-i)=5\).
• Question 11 : Médiane de 12, 7, 9, 15 et 10 : 10.
• Question 12 : Fréquence de 6 compétiteurs parmi 24 mineurs : \(\frac{1}{4}\).

Partie B, Exercice 1 : La marée dans un port

Cet exercice de 5 points porte sur l'étude d'une fonction trigonométrique modélisant la hauteur de l'eau : \(h(t) = 3 + 2 \cos(\frac{\pi t}{6})\) pour \(t \in [0; 12]\).

• Question 1 : Il est demandé de trouver l'amplitude (qui est 2) et la période de la fonction. La période \(T\) se calcule avec la formule \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) heures.
• Question 2 : Calcul des valeurs exactes de la hauteur à des instants précis : \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(6)\), nécessitant la connaissance des valeurs remarquables de cosinus.
• Question 3 : Étude des variations de la hauteur d'eau. Comme \(-1 \leq \cos(X) \leq 1\), la hauteur varie entre \(3+2(-1)=1\) mètre et \(3+2(1)=5\) mètres. Les instants de maximum et minimum sont à déterminer.
• Question 4 : Résolution de l'équation trigonométrique \(h(t) = 4\) sur l'intervalle \([0; 12]\). Cela revient à résoudre \(\cos(\frac{\pi t}{6}) = \frac{1}{2}\).
• Question 5 : Application concrète avec la résolution de l'inéquation \(h(t) > 4\) pour déterminer la plage de temps durant laquelle un navire peut entrer au port.

Partie B, Exercice 2 : Angles d'un triangle

Cet exercice de géométrie analytique de 4 points utilise le produit scalaire pour étudier les propriétés d'un triangle \(ABC\) avec les points \(A(1; -2)\), \(B(5; 1)\) et \(C(2; 3)\).

• Question 1 : Détermination des coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) par la formule \((x_B-x_A, y_B-y_A)\).
• Question 2 : Calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) à partir de leurs coordonnées.
• Question 3 : Calcul des longueurs \(AB\) et \(AC\), qui sont les normes des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
• Question 4 : Utilisation des deux formes du produit scalaire pour trouver la valeur exacte de \(\cos(\widehat{BAC})\) et déterminer si l'angle est aigu ou obtus en se basant sur le signe du produit scalaire.
• Question 5 : Justification de la nature du triangle \(ABC\) (est-il rectangle en A ?). Il suffit de vérifier si le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) est nul.

Partie B, Exercice 3 : Dans le plan complexe

Ce dernier exercice de 5 points est une application des nombres complexes à la géométrie, avec les points d'affixes \(z_A = 2+i\), \(z_B = 5+2i\) et \(z_C = 1+4i\).

• Question 1 : Placement des points dans le plan complexe.
• Question 2 : Calcul de l'affixe des vecteurs \(\vec{AB}\) (soit \(z_B - z_A\)) et \(\vec{AC}\) (soit \(z_C - z_A\)), puis de leurs longueurs respectives (modules de ces affixes).
• Question 3 : Le lien entre les coordonnées d'un vecteur et l'affixe de ce vecteur est utilisé pour calculer un produit scalaire et en déduire la nature du triangle \(ABC\).
• Question 4 : Détermination de l'affixe du milieu \(I\) du segment \([BC]\) avec la formule \(z_I = \frac{z_B + z_C}{2}\).
• Question 5 : Conversion du nombre complexe \(z = -3 + 3i\sqrt{3}\) de sa forme algébrique à sa forme trigonométrique. Cela implique le calcul de son module \(|z|\) et d'un de ses arguments \(\theta\).