6. Forme trigonométrique d'un complexe : argument et module

Introduction

Allez les amis, on est parti pour savoir la première compétence un peu compliquée : comment est-ce qu'on fait pour donner la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? C'est-à-dire, comment est-ce qu'on fait pour trouver son module et son argument ? Vous allez voir, c'est relativement simple, il faut juste être bien organisé. On se fait ça tout de suite.

Représentation d'un nombre complexe

Vous avez un nombre complexe, genre \(\sqrt{3}i\). A priori, à ce stade, vous avez compris qu'on a un axe qui représente les réels, un axe qui représente les imaginaires. Que \(\sqrt{3}\) c'est sa partie réelle, donc on va la mettre là, et que \(i\) ça correspond à -1 qui est sa partie imaginaire qu'on va mettre là. Et que votre point a une image qui est ici et cette image c'est un point dont l'abscisse est \(\sqrt{3}-i\). Donc mon nombre complexe est représenté par ce point là. Si je veux trouver sa forme trigonométrique, il va falloir que j'arrive à transformer mon \(\sqrt{3}-i\) en quelque chose qu'on appelle \(r\) multiplié par \(\cos\) d'un angle plus \(i \sin\) du même angle. À quoi ça correspond ce \(r\) ? À quoi ça correspond cet angle ? Eh bien, le \(r\) ça s'appelle le module ou la norme d'un nombre complexe et c'est la distance entre l'origine et le point dont \(\sqrt{3} - i\) est l'abscisse. Donc ici, ce que je vais lire, c'est \(r\). À quoi correspond \(\theta\) ? Eh bien, \(\theta\) c'est l'angle que fait cette droite là, ce segment là, avec l'axe des réels. Ici, j'ai mon \(\theta\). \(r\) ça s'appelle le module ou la norme et \(\theta\) c'est l'argument.

Calcul du module et de l'argument

Comment est-ce qu'on fait pour trouver ces valeurs là ? Eh bien, \(r\) c'est la plus simple. Comme vous pouvez le constater dans l'affiche, la formule qui vous permet de trouver \(r\) c'est \(R = \sqrt{\text{partie réelle}^2 + \text{partie imaginaire}^2}\). Donc \(\sqrt{\sqrt{3}^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\). Donc je sais déjà que la valeur qui est ici, c'est 2. Maintenant, comment est-ce que je vais faire pour trouver mon \(\cos \theta\) et mon \(\sin \theta\) ? Eh bien, regardez, on sait que \(\sqrt{3} - i\), on veut l'écrire sous la forme \(2 \times (\cos \theta + i \sin \theta)\). Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire une factorisation forcée ici. Comment est-ce qu'on va faire cette factorisation forcée ? Eh bien, on va faire comme s'il y avait un 2 là en divisant par 2 ici et on va faire comme s'il y avait un 2 en divisant par 2 ici. Du coup, si je veux factoriser par 2 maintenant, je peux. J'ai un \(2 \times (\sqrt{3}/2 - 1/2i)\). Et maintenant, je réfléchis. Je veux que ce bout là soit un \(\cos \theta\) et je veux que ce bout là soit un \(\sin \theta\). Donc en réalité, ce que je cherche à résoudre, c'est : quelle est la valeur de \(\theta\) pour que \(\cos \theta = \sqrt{3}/2\) et quelle est la valeur de \(\theta\) pour que \(\sin \theta = -1/2\) ? Pour répondre à cette question, il va vous falloir vous souvenir de votre cercle trigonométrique. Donc on va se faire un petit cercle là-haut. Votre cercle trigonométrique, en tout cas les valeurs que vous connaissez, c'est \(\pi/4\), \(\pi/3\) et \(\pi/6\). Donc là, j'ai \(\pi/3\), \(\pi/4\) et \(\pi/6\) et les valeurs des cosinus, c'est \(1\), \(2\), \(3\). Je mets tout à la racine, racine, racine et je divise tout par 2. Donc ici, pour qu'un \(\cos \theta = \sqrt{3}/2\), ça veut dire que mon \(\theta\) il vaut plus ou moins \(\pi/6\). Parce que n'oubliez pas qu'avec \(-\pi/6\), si j'avais prolongé mon cercle ici, je serais aussi arrivé à \(\sqrt{3}/2\). Comment est-ce qu'on va faire pour savoir si c'est plus ou moins \(\pi/6\) ? On va regarder le signe du sinus. Vu que mon \(\theta\) est négatif, mon \(\sin \theta\) est négatif. En effet, j'ai \(\sin \theta = -1/2\), ça veut forcément dire que mon angle, c'est pas \(\pi/6\), parce que si je prends le sinus de \(\pi/6\), j'arrive ici, j'arrive au-dessus de 0, donc je suis dans la partie positive. Si je prends \(\sin (-\pi/6)\), j'arrive en dessous de 0, donc la valeur est bien négative. Donc je vais pas garder \(\pi/6\), je vais garder \(-\pi/6\). Du coup, ma forme trigonométrique, c'est rien d'autre que \(2 \times (\cos(-\pi/6) + i \sin(-\pi/6))\). Et je peux encadrer ma petite équation, tout va bien, j'ai donné la forme trigonométrique de mon nombre. Ça, c'est vraiment quelque chose, ça va vous prendre vos rappels sur la trigonométrie, ça va vous prendre vos rappels sur les nombres complexes, ça va tout vous prendre. On vous a mis plein d'exercices en dessous. Premièrement, je calcule la norme. Deuxièmement, je factorise par la norme. Troisièmement, je trouve la valeur du cosinus. Quatrièmement, grâce au signe du sinus, je sais si je prends la valeur positive ou la valeur négative de l'angle. Rendez-vous sur le site, juste en dessous, on a des tonnes d'exercices pour vous. À vous de jouer, vous êtes des champions.