Analyse du Contrôle sur les Nombres Complexes - Première STI2D

Ce sujet de mathématiques de niveau Première STI2D est une évaluation complète sur le chapitre des nombres complexes. Il aborde à la fois les aspects algébriques et géométriques, essentiels pour une bonne maîtrise du programme. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement et de valider vos compétences. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, Nombres complexes, forme algébrique, forme trigonométrique, géométrie complexe.

Exercice 1 : Calculs sous forme algébrique

Cet exercice vise à évaluer la maîtrise des opérations fondamentales avec les nombres complexes sous leur forme algébrique. On travaille avec les nombres \(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 1 - i\).

• Question 1 : Calcul de la somme \(z_1 + z_2\) et du produit \(z_1 \times z_2\). Il s'agit d'appliquer les règles de base de l'addition et de la multiplication, en se rappelant que \(i^2 = -1\).
• Question 2 : Calcul du carré \(z_2^2\). C'est une application directe du produit ou de l'identité remarquable \((a-b)^2\).
• Question 3 : Écriture du quotient \(\frac{z_1}{z_2}\) sous forme algébrique. Cette question teste la méthode de la multiplication par le conjugué du dénominateur pour éliminer la partie imaginaire au dénominateur.
• Question 4 : Calcul des modules \(|z_1|\) et \(|z_2|\) puis déduction de \(|z_1 \times z_2|\). L'objectif est d'utiliser la propriété fondamentale \(|z \times w| = |z| \times |w|\), qui simplifie grandement le calcul du module d'un produit.
• Question 5 : Vérification du résultat précédent en calculant directement le module du produit obtenu à la première question. Cela permet de confirmer la cohérence des résultats et la maîtrise de la formule du module \(|a+ib| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Exercice 2 : Dans le plan complexe

Cet exercice fait le lien entre les nombres complexes et la géométrie plane. Il est crucial pour comprendre l'utilité des complexes dans la description de figures et de transformations géométriques.

• Question 1 : Placement des points A, B, et C d'affixes respectives \(z_A = 1 + 2i\), \(z_B = 5 + 4i\), et \(z_C = 3 + 6i\) dans un repère orthonormé direct. C'est la base de la représentation géométrique.
• Question 2 : Détermination de l'affixe du vecteur \(\vec{AB}\) via la formule \(z_{\vec{AB}} = z_B - z_A\), puis calcul de la distance AB, qui correspond au module \(|z_B - z_A|\).
• Question 3 : Calcul des distances AC et BC pour en déduire la nature du triangle ABC. En comparant les longueurs des côtés (les modules des différences d'affixes), on peut déterminer si le triangle est isocèle, équilatéral, ou rectangle (en vérifiant la réciproque du théorème de Pythagore).
• Question 4 : Détermination de l'affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. Cela se traduit par l'égalité vectorielle \(\vec{AB} = \vec{DC}\), et donc par l'égalité des affixes \(z_B - z_A = z_C - z_D\).
• Question 5 : Interprétation géométrique de l'ensemble \(\mathcal{E}\) des points M d'affixe \(z\) tels que \(|z - (1 + 2i)| = 3\). Cette équation se réécrit \(|z - z_A| = 3\), ce qui caractérise le cercle de centre A et de rayon 3.

Exercice 3 : Forme trigonométrique

Cet exercice est centré sur la deuxième représentation importante des nombres complexes : la forme trigonométrique, définie par le module et l'argument.

• Questions 1, 2 et 3 : Détermination du module et d'un argument pour les nombres complexes \(z_3 = -1 + i\sqrt{3}\), \(z_4 = -4i\) et \(z_5 = 3 - 3i\). Ces calculs sont fondamentaux pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
• Question 4 : Placement des points images dans le plan complexe. Cette étape visuelle permet de valider la vraisemblance des arguments trouvés (par exemple, un argument de \(\pi\) pour un réel négatif, \(-\frac{\pi}{2}\) pour un imaginaire pur négatif, etc.).
• Question 5 : Passage de la forme trigonométrique \(z_6 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})\) à la forme algébrique en calculant les valeurs du cosinus et du sinus.
• Question 6 : Utilisation de la propriété du module d'un produit pour déterminer \(|z_3 \times z_5|\) sans effectuer le produit, renforçant la compréhension de cette règle efficace.

Exercice 4 : Vrai ou faux ?

Ce dernier exercice rapide teste la compréhension de propriétés essentielles des nombres complexes à travers des affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : "pour tout nombre complexe z, le produit \(z \times \bar{z}\) est un nombre réel positif". La justification passe par la formule \(z \times \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2\), qui est bien un réel positif ou nul.
• Affirmation 2 : "si \(|z| = 1\), alors \(z = 1\) ou \(z = -1\)". Cette affirmation est fausse, et un contre-exemple comme \(z=i\) (dont le module est 1) suffit à le prouver. L'ensemble des points est le cercle unité.
• Affirmation 3 : "le nombre \((2 - i)^2\) a pour partie réelle 4". Il faut développer l'expression pour trouver \((2-i)^2 = 3 - 4i\), dont la partie réelle est 3. L'affirmation est donc fausse.