Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D est dédié au chapitre des nombres complexes. Il couvre de manière exhaustive les aspects algébriques et géométriques, essentiels au programme. Ce document, présenté sans sa correction, constitue un excellent support d'entraînement pour les élèves souhaitant évaluer leur maîtrise des notions fondamentales avant une évaluation. Les exercices proposés sont progressifs, débutant par des automatismes sous forme de QCM et se terminant par une application concrète en électricité.

Les compétences évaluées incluent la manipulation des différentes formes d'un nombre complexe, les calculs algébriques, l'interprétation géométrique des affixes, des modules et des arguments, ainsi que la conversion entre les formes algébrique et trigonométrique.

Exercice 1 : Automastismes (QCM)

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour vérifier rapidement les connaissances de base sur les nombres complexes. Chaque question teste un savoir-faire fondamental :

• Question 1 : Identification de la partie imaginaire d'un nombre complexe donné sous forme algébrique, ici pour \(z = -4 + 5i\).
• Question 2 : Calcul d'une puissance simple d'un nombre complexe, \((1 + i)^2\), un calcul classique qui fait apparaître un imaginaire pur.
• Question 3 : Calcul du module d'un nombre complexe \(z = a + ib\) avec la formule \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). L'exemple est \(z = 3 - 4i\).
• Question 4 : Détermination du conjugué d'un nombre complexe. Il s'agit de changer le signe de la partie imaginaire. L'exemple est \(z = 2i - 7 = -7 + 2i\).
• Question 5 : Reconnaissance de l'argument d'un nombre complexe simple, ici un imaginaire pur négatif \(z = -3i\), qui se place sur l'axe des ordonnées négatives.

Exercice 2 : Calculs sous forme algébrique

Cet exercice se concentre sur la manipulation algébrique des nombres complexes. À partir de deux nombres \(z_1 = 3 - 2i\) et \(z_2 = -1 + 4i\), l'élève doit effectuer les opérations standards :

• Somme et produit : Calculer \(z_1 + z_2\) et \(z_1 \times z_2\) en utilisant les règles de calcul habituelles.
• Conjugué et module : Calculer le produit \(z_1 \times \overline{z_1}\) et reconnaître que ce résultat correspond au carré du module, \(|z_1|^2\).
• Quotient : Mettre sous forme algébrique le quotient \(\frac{z_1}{z_2}\) et l'inverse \(\frac{1}{z_2}\) en utilisant la technique de multiplication par le conjugué du dénominateur.
• Propriété des modules : Utiliser la propriété \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\) pour trouver le module du produit et vérifier la cohérence avec le résultat direct.

Exercice 3 : Dans le plan complexe

L'objectif est ici de faire le lien entre les nombres complexes et la géométrie du plan. On considère les points A, B et C d'affixes respectives \(z_A = 3 + i\), \(z_B = 1 + 3i\) et \(z_C = -1 - i\).

• Représentation graphique : Placer des points dans le plan complexe à partir de leurs affixes.
• Vecteurs et distances : Déterminer l'affixe du vecteur \(\vec{AB}\) par la différence \(z_B - z_A\), puis calculer la distance \(AB\) qui est le module de cette affixe, soit \(|z_B - z_A|\).
• Nature d'un triangle : Calculer les longueurs des trois côtés du triangle ABC (distances \(AC\) et \(BC\)) pour en déduire sa nature (isocèle, rectangle, équilatéral).
• Milieu d'un segment : Appliquer la formule de l'affixe du milieu d'un segment : \(z_I = \frac{z_A + z_B}{2}\).
• Parallélogramme : Trouver l'affixe d'un quatrième point D pour que ABCD soit un parallélogramme, en utilisant l'égalité vectorielle \(\vec{AB} = \vec{DC}\), qui se traduit par \(z_B - z_A = z_C - z_D\).
• Interprétation géométrique d'une équation : Reconnaître que l'ensemble des points M d'affixe \(z\) vérifiant \(|z - z_A| = |z - z_B|\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

Exercice 4 : Forme trigonométrique et tensions sinusoïdales

Ce dernier exercice aborde la forme trigonométrique des nombres complexes et son application en sciences physiques.

• Conversion en forme trigonométrique : Pour \(z_1 = \sqrt{3} + i\) et \(z_2 = -2 + 2i\), il faut calculer le module \(r\) et un argument \(\theta\) pour écrire chaque nombre sous la forme \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
• Conversion en forme algébrique : Le processus inverse est demandé pour \(z_3 = 3(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))\), en utilisant les valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
• Application à l'électricité : Une situation concrète où une tension sinusoïdale est modélisée par un nombre complexe \(\underline{U}\). Le module \(U\) représente l'amplitude et l'argument \(\varphi\) la phase. L'exercice consiste à sommer deux tensions en additionnant leurs nombres complexes associés, puis à déterminer l'amplitude et la phase de la tension résultante en calculant le module et l'argument de la somme. Cela illustre la puissance de l'outil des nombres complexes pour simplifier l'étude des circuits en régime sinusoïdal.