Introduction
Dans cette vidéo, nous allons résoudre des équations avec sinus et cosinus. Cependant, au lieu de les résoudre dans \( \mathbb{R} \), nous allons les résoudre sur des intervalles particuliers.
Résolution de l'équation \( \cos(x) = \sqrt{2}/2 \)
Prenons la première équation \( \cos(x) = \sqrt{2}/2 \). Pour résoudre une équation de ce type, on prend \( \sqrt{2}/2 \), on l'écrit comme un cosinus qu'on connaît et ensuite on dit \( x = \pm \) cet angle \( + 2k\pi \). Donc, je vais transformer l'équation en \( \cos(x) = \cos(\pi/4) \) puisque \( \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \). Ensuite, je vais pouvoir dire directement que \( x = \pm \pi/4 + 2k\pi \) avec \( k \) qui prend comme valeur -1, -2, -3, -4, 1, 2, 3, 4 ou 0.
Résolution de l'équation dans un intervalle particulier
Maintenant, on va voir comment faire pour la résoudre dans l'intervalle \( \pi/2 < x < 2\pi \). On va scinder les deux conditions \( \pi/2 < x < 2\pi \) et \( x = \pm \pi/4 + 2k\pi \). En résolvant ces équations, on va pouvoir trouver parmi toutes les valeurs de \( k \) lesquelles nous donnent un \( x \) compris dans cet intervalle.
Conclusion
C'est une technique systématique de résolution. Avec cette méthode, vous êtes sûr de ne pas vous tromper. Il faut penser à prendre à chaque fois les deux solutions et les tester sur l'intervalle pour trouver la valeur de \( k \). Une fois qu'on a trouvé la valeur de \( k \), on la remplace dans la solution et ça nous donne le \( x \) particulier qui est à la fois solution de l'équation et dans l'intervalle donné.