13. Résoudre une équation avec cosinus ou sinus sur un intervalle particulier

Introduction

Dans cette vidéo, nous allons résoudre des équations avec sinus et cosinus. Cependant, au lieu de les résoudre dans \( \mathbb{R} \), nous allons les résoudre sur des intervalles particuliers.

Résolution de l'équation \( \cos(x) = \sqrt{2}/2 \)

Prenons la première équation \( \cos(x) = \sqrt{2}/2 \). Pour résoudre une équation de ce type, on prend \( \sqrt{2}/2 \), on l'écrit comme un cosinus qu'on connaît et ensuite on dit \( x = \pm \) cet angle \( + 2k\pi \). Donc, je vais transformer l'équation en \( \cos(x) = \cos(\pi/4) \) puisque \( \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \). Ensuite, je vais pouvoir dire directement que \( x = \pm \pi/4 + 2k\pi \) avec \( k \) qui prend comme valeur -1, -2, -3, -4, 1, 2, 3, 4 ou 0.

Résolution de l'équation dans un intervalle particulier

Maintenant, on va voir comment faire pour la résoudre dans l'intervalle \( \pi/2 < x < 2\pi \). On va scinder les deux conditions \( \pi/2 < x < 2\pi \) et \( x = \pm \pi/4 + 2k\pi \). En résolvant ces équations, on va pouvoir trouver parmi toutes les valeurs de \( k \) lesquelles nous donnent un \( x \) compris dans cet intervalle.

Conclusion

C'est une technique systématique de résolution. Avec cette méthode, vous êtes sûr de ne pas vous tromper. Il faut penser à prendre à chaque fois les deux solutions et les tester sur l'intervalle pour trouver la valeur de \( k \). Une fois qu'on a trouvé la valeur de \( k \), on la remplace dans la solution et ça nous donne le \( x \) particulier qui est à la fois solution de l'équation et dans l'intervalle donné.