Analyse détaillée du contrôle sur la fonction inverse - Terminale STI2D

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale STI2D est un contrôle d'une heure portant exclusivement sur le chapitre de la fonction inverse et ses applications. Il est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux, des techniques de dérivation, de l'étude de fonctions et de la résolution de problèmes concrets. Le sujet se compose de trois exercices progressifs : un QCM à justifier, une mise en situation physique et l'analyse critique d'une copie d'élève.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants cherchant un support d'évaluation complet. Vous y trouverez un corrigé détaillé, idéal pour préparer le baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : QCM (8 points)

Ce premier exercice, noté sur 8 points, est un QCM de quatre questions. Une seule proposition est exacte, et chaque choix doit être justifié : une réponse sans explication ne rapporte aucun point. Les propositions fausses correspondent aux erreurs les plus fréquentes, ce qui en fait un excellent test de la solidité des bases.

• Question 1 : Elle porte sur l'inverse d'un très petit nombre. Parmi quatre nombres écrits en notation scientifique, il faut trouver celui dont l'inverse dépasse \(10^{6}\). Le bon choix est \(4 \times 10^{-7}\), dont l'inverse vaut \(2{,}5 \times 10^{6}\). Deux pièges sont tendus : \(-10^{-7}\) est très proche de zéro mais négatif, donc son inverse est un très grand nombre négatif, et \(2 \times 10^{6}\) est très grand, donc son inverse est très petit.
• Question 2 : Cette question interroge sur la dérivée de \(f(x) = 5x - \frac{2}{x}\) sur \(]0; +\infty[\). En écrivant \(f(x) = 5x - 2 \times \frac{1}{x}\), on obtient \(f'(x) = 5 + \frac{2}{x^2}\) : le signe moins devant \(\frac{2}{x}\) se combine avec celui de la dérivée de la fonction inverse. C'est l'erreur de signe classique que le QCM cherche à détecter.
• Question 3 : Ici, on réinvestit le nombre dérivé à travers un taux de variation. Il faut simplifier le taux de variation de la fonction inverse entre \(2\) et \(2 + h\) en réduisant au même dénominateur, ce qui donne \(-\frac{1}{2(2+h)}\). La proposition \(-\frac{1}{4}\) est un piège : c'est la valeur vers laquelle tend ce taux lorsque \(h\) devient très proche de zéro, c'est-à-dire le nombre dérivé en \(2\), mais elle n'est pas valable pour tout \(h\).
• Question 4 : Une question concrète sur le prix de revient d'une page imprimée. Un copieur loué 600 euros par an, plus 0,01 euro par page, donne un prix de revient \(p(n) = 0{,}01 + \frac{600}{n}\). Résoudre l'inéquation \(p(n) < 0{,}02\) revient à \(\frac{600}{n} < 0{,}01\), soit \(n > 60\,000\) pages : la location se répartit sur toujours plus de pages.

Exercice 2 : Un gaz sous pression (6 points)

Ce deuxième exercice, noté sur 6 points, est un problème de modélisation. Il applique les propriétés de la fonction inverse à une situation physique concrète, la compression d'un gaz à température constante dans un vérin pneumatique. La relation entre la pression (en bars) et le volume (en litres) est donnée par \(P \times V = 240\).

• Question 1 : Un calcul simple pour trouver la pression lorsque le gaz occupe un volume de 4 litres : on obtient \(P = \frac{240}{4} = 60\) bars.
• Question 2 : Il faut exprimer \(P\) en fonction de \(V\), ce qui donne \(P(V) = \frac{240}{V}\). L'élève doit reconnaître une fonction de référence, ici la fonction inverse multipliée par le coefficient 240.
• Question 3 : On entre dans le cœur de l'analyse de fonction avec le calcul de la dérivée \(P'(V)\) et l'étude de son signe sur \(]0; +\infty[\). Le calcul donne \(P'(V) = -\frac{240}{V^2}\), qui est toujours strictement négative.
• Question 4 : À partir du signe de la dérivée, on en déduit le sens de variation : la pression est strictement décroissante. L'interprétation physique est cruciale : plus on laisse de volume au gaz, plus sa pression est faible, et comprimer le gaz fait monter la pression.
• Question 5 : Cette question aborde les limites du modèle. Lorsque le volume devient très proche de 0, \(\frac{240}{V}\) devient arbitrairement grand : le modèle prévoit une pression sans limite. C'est l'occasion de discuter de la différence entre un modèle mathématique et la réalité physique, puisqu'un gaz réel ne peut pas être comprimé indéfiniment.

Exercice 3 : La copie d'un élève (6 points)

Ce dernier exercice sur 6 points évalue la capacité à analyser un raisonnement, à en déceler l'erreur et à le corriger. Un élève étudie la fonction \(u(x) = x + \frac{1}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\). Sa copie calcule correctement \(u'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}\), trouve que la dérivée vaut zéro pour \(x = 1\) et \(x = -1\), puis conclut à tort que \(-2 \leq u(x) \leq 2\) pour tout réel \(x\) non nul.

• Question 1 : Il faut vérifier que le calcul de la dérivée et la résolution de \(u'(x) = 0\) sont corrects : l'erreur n'est pas dans le calcul.
• Question 2 : Le calcul de \(u(3) = \frac{10}{3}\) et de \(u\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{2}\) fournit des contre-exemples : chacun suffit à réfuter la dernière phrase de la copie, puisqu'une affirmation universelle tombe dès qu'un seul cas la contredit.
• Question 3 : L'élève doit expliquer l'erreur de raisonnement. La copie traite \(\mathbb{R}^*\) comme un seul intervalle alors que \(u\) n'est pas définie en 0 : son ensemble de définition est la réunion de deux intervalles disjoints. De plus, la nature des deux extremums est inversée.
• Question 4 : C'est la partie de synthèse. Elle implique de :
  1. Écrire \(u'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}\) et étudier le signe de \(x^2 - 1\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(u\) sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\), avec la double barre en 0.
  3. Rédiger une conclusion correcte : sur \(]-\infty; 0[\), \(u\) admet un maximum égal à \(-2\), atteint en \(x = -1\) ; sur \(]0; +\infty[\), un minimum égal à \(2\), atteint en \(x = 1\). En revanche, \(u\) n'admet ni minimum ni maximum sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier.

En conclusion, ce contrôle corrigé sur la fonction inverse est un excellent outil de préparation pour les élèves de Terminale STI2D. Il balaye l'ensemble des compétences attendues : connaissance du cours, calcul de dérivées, taux de variation, résolution d'inéquations, étude de variations, esprit critique face à un raisonnement et application à des problèmes concrets.