Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Terminale STI2D, accompagné de son corrigé détaillé, portant sur les chapitres essentiels de la composition de fonctions et de la fonction inverse. Ce devoir de 2 heures, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant maîtriser l'étude de fonctions complexes et leurs applications concrètes.

Ce contrôle est structuré en deux exercices principaux qui balayent des compétences clés du programme : l'analyse de fonction, le calcul de dérivées (produit, quotient, composée), l'établissement de tableaux de variation, la recherche d'extremums et la résolution de problèmes d'optimisation.

Exercice 1 : Quelle charge pour tirer le plus de puissance ? (14 points)

Cet exercice complet est une application directe de l'étude de fonctions à un problème de physique. Il s'agit d'optimiser la puissance \(P\) reçue par une charge électrique de résistance \(x\). La fonction à étudier est donnée par : \(P(x) = \frac{144x}{(x+3)^2}\) pour \(x > 0\).

L'exercice est divisé en trois parties progressives :

• Partie A : Premiers calculs. Cette partie introductive vise à familiariser l'élève avec la fonction. Il est demandé de calculer des images (\(P(1)\), \(P(3)\), \(P(9)\)) et d'utiliser ces résultats pour réfuter une affirmation, testant ainsi la capacité à interpréter des valeurs numériques dans un contexte donné.
• Partie B : Étude de la fonction. C'est le cœur de l'exercice. L'élève est guidé pour mener une étude de fonction complète :
  • Calcul de la dérivée en utilisant les règles de dérivation d'un produit et d'une fonction composée de la forme \(u^n\). L'énoncé propose d'écrire \(P(x) = 144x \times (x+3)^{-2}\) et de montrer que la dérivée est \(P'(x) = \frac{144(3-x)}{(x+3)^3}\).
  • Analyse du signe de la dérivée \(P'(x)\) pour en déduire les variations de la fonction puissance \(P\).
  • Construction du tableau de variation complet de \(P\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).
  • Détermination de la valeur de \(x\) qui maximise la puissance, ainsi que la valeur de cette puissance maximale. Cette question évalue la compétence de recherche d'extremum.
• Partie C : Généralisation. Cette partie propose de sortir du cas particulier pour traiter le cas général avec la fonction \(P(x) = \frac{U^2x}{(x+r)^2}\). L'élève doit, de manière autonome, reprendre la démarche de dérivation et d'optimisation pour démontrer que la puissance est maximale lorsque la résistance de la charge \(x\) est égale à la résistance interne \(r\). C'est une excellente question pour évaluer l'autonomie et la capacité d'abstraction.

Exercice 2 : Le coût moyen d'un atelier de découpe (6 points)

Ce second exercice se concentre sur le chapitre de la fonction inverse à travers un problème économique de coût de production. Le coût total de production pour \(n\) pièces est \(C(n) = 6n + 1200\), et on étudie le coût moyen par pièce \(C_m(n) = \frac{C(n)}{n}\).

Les questions abordent les points suivants :

• Manipulation algébrique : Démontrer que le coût moyen s'écrit sous la forme \(C_m(n) = 6 + \frac{1200}{n}\).
• Calculs et variations :
  • Calculer le coût moyen pour des quantités données (100 et 400 pièces).
  • Calculer la dérivée \(C'_m(n)\) de la fonction de coût moyen. Cette étape fait appel à la dérivation de la fonction inverse.
  • En déduire le sens de variation de la fonction \(C_m\), montrant que le coût moyen diminue à mesure que la production augmente.
• Résolution d'inéquation : Déterminer le nombre minimal de pièces à produire pour que le coût moyen ne dépasse pas un certain seuil (10 euros). Cela revient à résoudre l'inéquation \(6 + \frac{1200}{n} \le 10\).
• Interprétation et limites : Analyser le comportement de la fonction lorsque \(n\) devient très grand, et interpréter la signification de la limite (le coût moyen tend vers 6 euros) dans le contexte du problème (le rôle des charges fixes).

En conclusion, ce sujet de bac blanc est un excellent entraînement pour les élèves de Terminale STI2D. Il couvre de manière approfondie l'analyse de fonctions rationnelles et de fonctions impliquant des puissances, en mettant l'accent sur les applications pratiques, un aspect fondamental de la filière STI2D.