Sujet de Contrôle Corrigé de Mathématiques pour Terminale STI2D - Chapitre Fonction Inverse

Ce sujet de contrôle, destiné aux élèves de Terminale STI2D, est une évaluation complète sur le chapitre de la fonction inverse et ses applications. D'une durée de 1h30, ce devoir de maths couvre des compétences essentielles telles que l'étude de fonctions, la dérivation, la résolution d'équations, et la modélisation de problèmes concrets. Il est un excellent outil de révision pour les lycéens préparant le baccalauréat.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur la Fonction Inverse (5 points)

Cet exercice d'introduction propose quatre affirmations à déclarer vraies ou fausses. Chaque réponse doit être justifiée par un calcul, une propriété du cours ou un contre-exemple, ce qui permet d'évaluer des savoir-faire précis.

• Affirmation 1 : Ordre et fonction inverse. Si \(0 < a < b\), a-t-on \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\) ? L'affirmation est fausse : la fonction inverse est décroissante sur \(]0; +\infty[\), elle renverse l'ordre. Un contre-exemple comme \(1 < 2\) mais \(1 > \frac{1}{2}\) suffit.
• Affirmation 2 : Variations par dérivation. La fonction \(f(x) = 4x + \frac{1}{x}\) est-elle croissante sur \(]0; +\infty[\) ? Le calcul de \(f'(x) = \frac{4x^2 - 1}{x^2}\) montre que la dérivée est négative sur \(]0; \frac{1}{2}[\) : l'affirmation est fausse, ce que confirment \(f(\frac{1}{4}) = 5\) et \(f(\frac{1}{2}) = 4\).
• Affirmation 3 : Inverse d'un grand nombre. Pour \(x > 10\,000\), a-t-on \(0 < \frac{1}{x} < 10^{-4}\) ? C'est vrai, encore grâce à la décroissance de la fonction inverse : plus un nombre est grand, plus son inverse est proche de 0.
• Affirmation 4 : Un piège de signe. La fonction \(g(x) = x^3 - \frac{3}{x}\) est-elle croissante sur \(]0; +\infty[\) ? Oui : \(g'(x) = 3x^2 + \frac{3}{x^2}\) est une somme de termes strictement positifs. Retrancher \(\frac{3}{x}\) fait apparaître un terme positif dans la dérivée.

Exercice 2 : Problème d'Optimisation - L'Épaisseur d'Isolant sous une Toiture (8 points)

Cet exercice complet est un problème concret d'optimisation, typique de ce qui peut être rencontré en filière STI2D. Un lycée fait isoler les combles de ses ateliers avec de la laine minérale soufflée, et le bureau d'études cherche l'épaisseur d'isolant qui rend le coût total le plus faible.

Sur trente ans et pour un mètre carré, le coût total en euros est \(C(e) = 10 + 1{,}25e + \frac{1\,440}{e}\) pour une épaisseur \(e\) comprise entre 5 et 60 cm : le premier terme est le prix de l'isolant, le second le coût du chauffage perdu.

• Question 1 : Premiers calculs et interprétation. On obtient \(C(10) = 166{,}5\) euros et \(C(20) = 107\) euros. L'élève doit expliquer que le coût du chauffage diminue avec l'épaisseur (fonction inverse décroissante), mais que le coût de l'isolant augmente : le coût total ne peut pas baisser indéfiniment.
• Questions 2 et 3 : Étude complète de la fonction coût. C'est le cœur de l'exercice. Il faut :
  • Calculer la dérivée \(C'(e) = 1{,}25 - \frac{1\,440}{e^2}\) et montrer qu'elle s'écrit \(\frac{1{,}25(e^2 - 1\,152)}{e^2}\).
  • Étudier son signe, qui est celui de \(e^2 - 1\,152\) : la dérivée s'annule pour \(e = \sqrt{1\,152} = 24\sqrt{2}\).
  • Dresser le tableau de variations de \(C\) sur \([5; 60]\) : décroissante puis croissante.
• Question 4 : Recherche d'un minimum. Le coût total est minimal pour une épaisseur d'environ 33,9 cm, et ce coût minimal vaut \(10 + 60\sqrt{2} \approx 94{,}85\) euros par mètre carré. À l'optimum, le coût de l'isolant ajouté et celui du chauffage sont égaux.
• Question 5 : Tableau de valeurs et courbe. Le tableau arrondi à l'unité donne 304, 125, 99, 95, 98 et 109 euros pour 5, 15, 25, 35, 45 et 60 cm. L'allure de la courbe montre une chute rapide pour les faibles épaisseurs, puis une remontée lente.
• Question 6 : Seuil et choix technique. Après avoir vérifié que \(C(24) = C(48) = 100\), l'élève utilise le tableau de variations pour trouver que les épaisseurs acceptables (coût d'au plus 100 euros) forment l'intervalle \([24; 48]\). Pour limiter le poids sur le plafond, on conseille 24 cm.

Exercice 3 : Retrouver une Fonction sur sa Courbe (3 points)

Cet exercice teste la capacité à lier représentation graphique et expression algébrique. La courbe d'une fonction \(k(x) = ax + \frac{b}{x}\) est fournie.

• Question 1 : Détermination de paramètres. À partir des points \( (1; 7) \) et \( (2; 8) \) de la courbe, l'élève établit un système de deux équations à deux inconnues, \(a + b = 7\) et \(2a + \frac{b}{2} = 8\), puis le résout : \(a = 3\) et \(b = 4\), soit \(k(x) = 3x + \frac{4}{x}\).
• Question 2 : Allure près de 0. Lorsque \(x\) devient très proche de 0, la courbe monte sans limite en se rapprochant de l'axe des ordonnées, car \(\frac{4}{x}\) devient très grand : par exemple \(k(0{,}01) = 400{,}03\).

Exercice 4 : Question Ouverte - Une Courbe et une Droite (4 points)

Ce dernier exercice est une question ouverte : aucune sous-question n'est posée, et la démarche, les calculs et la rédaction sont évalués. On étudie la fonction \(f(x) = 2x - 3 + \frac{4}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) et la droite d'équation \(y = 2x - 3\).

• Contexte : Un élève trace la courbe et la droite sur sa calculatrice pour \(x\) entre -50 et 50, et affirme que pour les grandes valeurs de \(x\), elles finissent par se rejoindre.
• Démarche attendue :
  • Calculer l'écart \(f(x) - (2x - 3) = \frac{4}{x}\), qui ne s'annule jamais : la courbe et la droite n'ont aucun point commun.
  • Étudier le signe de cet écart pour préciser la position relative : la courbe est au-dessus de la droite pour \(x > 0\) et au-dessous pour \(x < 0\).
  • Constater que l'écart devient très proche de 0 pour les grandes valeurs de \(x\) (0,08 pour \(x = 50\)) : la courbe se rapproche de la droite sans jamais la rencontrer.
  • Conclure que l'affirmation est fausse et que l'écran ne montre qu'un effet de résolution : un écart de 0,08 est bien plus petit qu'un pixel.