Analyse détaillée du contrôle sur la fonction inverse - Terminale STI2D

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale STI2D est un contrôle d'une heure portant exclusivement sur le chapitre de la fonction inverse et ses applications. Il est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux, des techniques de dérivation, de l'étude de fonctions et de la résolution de problèmes concrets. Le sujet se compose de trois exercices progressifs, alliant questions de cours, calculs techniques et une mise en situation avec une approche algorithmique.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser, ainsi que pour les enseignants cherchant un support d'évaluation complet. Vous y trouverez un corrigé détaillé, idéal pour préparer le baccalauréat STI2D.

Exercice 1 : La fonction inverse, de près

Cet exercice en deux parties vise à vérifier les connaissances fondamentales sur la fonction inverse. Il est noté sur 8 points et constitue une excellente entrée en matière pour s'assurer que les bases sont solides.

Partie A : Vrai ou Faux

La première partie est un QCM de type "Vrai ou Faux" où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Elle teste la précision des connaissances théoriques :

• Question 1 : Elle porte sur le sens de variation de la fonction inverse. C'est une question classique qui piège souvent les élèves. Il faut se souvenir que la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty; 0[\) et sur l'intervalle \(]0; +\infty[\), mais pas sur son ensemble de définition complet \(\mathbb{R}^*\).
• Question 2 : Cette question interroge sur la formule de la dérivée de la fonction inverse. Une connaissance directe du cours est nécessaire pour affirmer que la dérivée de \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est bien \(x \mapsto -\frac{1}{x^2}\).
• Question 3 : Ici, la notion de limite est abordée de manière intuitive. On demande d'évaluer l'inverse d'un nombre très proche de zéro. Cela correspond à la limite \(\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\).
• Question 4 : Une question sur la représentation graphique de la fonction inverse (une hyperbole). Il faut savoir que sa courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses, car l'équation \(\frac{1}{x} = 0\) n'a pas de solution.

Partie B : Calculs

La seconde partie se concentre sur les compétences calculatoires, notamment la dérivation de fonctions composées avec la fonction inverse :

• Question 5 : Il s'agit de dériver la fonction \(f(x) = 2x + \frac{3}{x}\). Cela nécessite de connaître la dérivée d'une somme, la dérivée de \(kx\) et la dérivée de \(\frac{k}{x}\). On applique les formules pour trouver \(f'(x) = 2 - \frac{3}{x^2}\).
• Question 6 : Similaire à la précédente, on dérive \(g(x) = x^2 - \frac{4}{x}\), ce qui donne \(g'(x) = 2x + \frac{4}{x^2}\). C'est un bon entraînement sur les règles de dérivation de base.
• Question 7 : Cette question demande de résoudre l'équation \(f'(x) = 0\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\). Cela mène à l'équation \(2 - \frac{3}{x^2} = 0\), qui se transforme en une équation du second degré simple (\(2x^2 = 3\)) dont il faut trouver la solution positive.

Exercice 2 : Un gaz sous pression

Ce deuxième exercice, noté sur 6 points, est un problème de modélisation. Il applique les propriétés de la fonction inverse à une situation physique concrète, la compression d'un gaz à température constante (loi de Boyle-Mariotte). La relation est donnée par \(P \times V = 240\).

• Question 1 : Un calcul simple pour trouver la pression \(P\) pour un volume \(V\) donné, en utilisant la relation fournie.
• Question 2 : Il faut exprimer \(P\) en fonction de \(V\), ce qui donne \(P(V) = \frac{240}{V}\). L'élève doit reconnaître une fonction de référence, ici une fonction inverse multipliée par une constante.
• Question 3 : On entre dans le cœur de l'analyse de fonction avec le calcul de la dérivée \(P'(V)\) et l'étude de son signe sur \(]0; +\infty[\). Le calcul donne \(P'(V) = -\frac{240}{V^2}\), qui est toujours négative.
• Question 4 : À partir du signe de la dérivée, on doit en déduire le tableau de variation de la fonction Pression. La fonction est strictement décroissante. L'interprétation physique est cruciale : "lorsque le volume du gaz augmente, sa pression diminue".
• Question 5 : Cette question aborde les limites du modèle. En étudiant le comportement de la pression lorsque le volume tend vers 0 (\(\lim_{V\to 0^+} P(V)\)), on constate que la pression tend vers l'infini. C'est une occasion de discuter de la différence entre un modèle mathématique et la réalité physique.

Exercice 3 : Chercher un minimum par balayage

Ce dernier exercice sur 6 points est le plus complet. Il mêle algorithmique (avec un script Python) et étude de fonction pour trouver le minimum d'une fonction. La fonction étudiée est \(h(x) = x + \frac{4}{x}\) sur \(]0; +\infty[\).

• Questions 1, 2 et 3 : Ces questions portent sur la compréhension et l'exécution "à la main" du script Python. Il faut calculer des images, suivre l'évolution de la variable `x` dans la boucle `while`, et comprendre le rôle de la variable `meilleur_h` qui stocke le minimum courant.
• Question 4 : C'est la partie principale de l'exercice. On demande de retrouver le résultat du script par une étude de fonction classique. Cela implique de :
  1. Calculer la dérivée \(h'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}\).
  2. Résoudre l'équation \(h'(x) = 0\), ce qui revient à résoudre \(x^2 - 4 = 0\).
  3. Étudier le signe de la dérivée \(h'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}\) en utilisant un tableau de signe (le signe de \(x^2-4\)).
  4. Dresser le tableau de variation complet de \(h\) pour identifier la présence d'un extremum local (ici, un minimum global sur l'intervalle).
• Question 5 : Une question de réflexion qui compare la méthode algorithmique (discrète) et la méthode analytique (continue). Elle met en évidence que l'algorithme de balayage ne trouve la valeur exacte du minimum que si le pas de balayage permet de "tomber" exactement sur l'abscisse du minimum. Si le pas change, l'algorithme ne renverra qu'une approximation.

En conclusion, ce contrôle corrigé sur la fonction inverse est un excellent outil de préparation pour les élèves de Terminale STI2D. Il balaye l'ensemble des compétences attendues : connaissance du cours, calcul de dérivées, résolution d'équations, étude de variations, limites et application à des problèmes concrets incluant une dimension algorithmique.