Corrigé du Contrôle de Maths : Fonction Inverse et Suites en Terminale STI2D

Ce sujet de mathématiques pour Terminale STI2D évalue les compétences sur la fonction inverse et les suites géométriques à travers deux exercices pratiques, qui portent tous deux sur le même bateau électrique de promenade et peuvent être traités de façon indépendante. Le premier applique les suites, avec une approche algorithmique en Python, au vieillissement de la batterie ; le second est un problème d'optimisation complet sur la vitesse la plus économe. Ce corrigé détaillé offre une analyse pas à pas pour maîtriser les savoir-faire requis. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, fonction inverse, suites géométriques, Python, optimisation, étude de fonction, dérivée, tableau de variation.

Exercice 1 : Le vieillissement de la batterie (Suites géométriques et Python, 6 points)

Ce premier exercice modélise la perte de capacité d'une batterie par une suite géométrique, puis fait lire et exécuter à la main deux fonctions Python écrites par un technicien.

• Identification et définition de la suite
  Neuve, la batterie a une capacité utile de \(c_0 = 54\) kWh, qui diminue de 3 % par an. On calcule d'abord \(c_1 = 52{,}38\) et \(c_2 \approx 50{,}81\) kWh. Diminuer de 3 % revient à multiplier par le même coefficient chaque année : la suite \((c_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}97\), et sa forme explicite est \(c_n = 54 \times 0{,}97^n\).
• Lecture et exécution d'algorithmes
  Une fois le modèle établi, on l'exploite à travers deux fonctions Python :
  1. Une boucle bornée : lors de l'appel `capacite(5)`, la ligne `c = 0.97 * c` est exécutée 5 fois, et la fonction renvoie \(c_5 \approx 46{,}37\) kWh.
  2. Un seuil : la batterie doit être remplacée dès que sa capacité passe sous 70 % de sa valeur initiale, soit \(0{,}7 \times 54 = 37{,}8\) kWh, d'où l'appel `remplacement(37.8)`. Le résultat 12 se vérifie avec deux termes consécutifs : \(c_{11} \approx 38{,}63\) et \(c_{12} \approx 37{,}47\). La batterie sera remplacée au bout de 12 ans.
  3. Analyse critique d'un programme : l'appel `remplacement(10)` renvoie 0, car même après 30 ans \(c_{30} \approx 21{,}65\) reste supérieur à 10. Ce 0 est trompeur : il ne signifie pas « dès l'année 0 », mais « seuil non atteint en 30 ans ».
  Cet exercice couvre ainsi les compétences attendues sur les suites géométriques et l'algorithmique dans un contexte appliqué.

Exercice 2 : La vitesse la plus économe (Problème d'optimisation, 14 points)

L'objectif de cet exercice est de déterminer la vitesse, comprise entre 2 et 20 km/h, pour laquelle le bateau consomme le moins d'énergie par kilomètre. La puissance de propulsion est proportionnelle au cube de la vitesse, et les équipements de bord absorbent en permanence 4 kW. C'est un problème d'optimisation structuré en deux parties.

• Partie A : Construire le modèle (6 points)
  La première étape est la modélisation. Un essai à 16 kW pour 20 km/h donne \(k = 0{,}002\), puis la puissance totale \(P(v) = 0{,}002v^3 + 4\), avec \(P(10) = 6\) kW. Comme le bateau met \(\frac{1}{v}\) heure pour parcourir un kilomètre, l'énergie consommée par kilomètre est \(E(v) = 0{,}002v^2 + \frac{4}{v}\). Les calculs \(E(5) = 0{,}85\), \(E(10) = 0{,}6\) et \(E(20) = 1\) permettent de réfuter l'affirmation d'un marin, « plus on va lentement, moins on consomme ». Lorsque la vitesse devient très faible, le terme \(\frac{4}{v}\) devient très grand : les équipements de bord fonctionnent très longtemps pour chaque kilomètre. Cette étape valide la capacité à transformer un problème concret en un modèle mathématique impliquant la fonction inverse.
• Partie B : Étudier et exploiter le modèle (8 points)
  Le cœur de l'exercice est l'étude des variations de \(E(v)\) pour en trouver le minimum. Le processus est le suivant :
  1. Calcul de la dérivée : On obtient \(E'(v) = 0{,}004v - \frac{4}{v^2}\), que l'on met sous la forme \(\frac{0{,}004(v^3 - 1\,000)}{v^2}\).
  2. Tableau de variations : La dérivée a le signe de \(v^3 - 1\,000\) : \(E\) est décroissante sur \([2; 10]\), puis croissante sur \([10; 20]\), avec un minimum de 0,6 kWh par kilomètre à 10 km/h.
  3. Autonomie maximale : La distance parcourue avec une batterie neuve est \(D(v) = \frac{54}{E(v)}\). La fonction inverse étant décroissante, \(D\) est maximale quand \(E\) est minimale, soit \(D(10) = 90\) km.
  4. Une contrainte d'horaire : Un circuit touristique de 18 km à parcourir en 1 h 30 au plus impose une vitesse d'au moins 12 km/h. Comme \(E\) est croissante au-delà de 10 km/h, la vitesse la plus économe autorisée est 12 km/h, pour environ 11,18 kWh par circuit. Une batterie neuve permet 4 circuits complets, contre 3 seulement lorsque la capacité est tombée à 37,8 kWh, ce qui relie les deux exercices.
  Cette partie mobilise des compétences essentielles d'analyse de fonction : dérivation, étude de signe, construction d'un tableau de variation et interprétation des résultats.