Contrôle Corrigé de Maths sur la Composition de Fonctions - Terminale STI2D

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale STI2D est entièrement dédié au chapitre sur la composition de fonctions. Il s'agit d'une évaluation complète d'une heure qui balaye les compétences essentielles : reconnaître une fonction composée, la dériver, et appliquer ces notions dans le cadre de la résolution de problèmes concrets. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous préparer efficacement, de comprendre vos erreurs et de maîtriser les techniques de dérivation et d'étude de fonctions.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, composition de fonctions, dérivée d'une fonction composée, taux de variation, étude de variation, résolution d'équation, algorithme Python, question ouverte.

Exercice 1 : Composer, reconnaître, dériver (6 points)

Cet exercice a pour but de vérifier la compréhension fondamentale de la notion de composition et la maîtrise de la formule de dérivation associée, (v o u)' = u' × (v' o u). Il enchaîne la définition, la reconnaissance d'une composée et plusieurs calculs de dérivées.

• Question 1 (L'ordre compte) : Avec u(x) = 2x - 1 et v(x) = x², il faut exprimer (v o u)(x) et (u o v)(x) sous forme développée. On obtient 4x² - 4x + 1 d'un côté et 2x² - 1 de l'autre : les deux fonctions ne sont pas égales (en x = 0, l'une vaut 1 et l'autre -1). L'objectif est de vérifier la bonne application de la définition (v o u)(x) = v(u(x)).
• Question 2 (Reconnaître une composée) : La fonction g(x) = (x²+1)³ doit être décomposée sous la forme v o u, avec u(x) = x² + 1 et v(X) = X³, puis dérivée : g'(x) = 6x(x²+1)².
• Question 3 (Calculs de dérivées) :
  • f(x) = (3x+1)^5 donne f'(x) = 15(3x+1)^4. L'oubli du facteur u'(x) = 3 est l'erreur classique.
  • h(x) = 1/(2x-3), réécrite sous la forme (2x-3)^(-1), donne h'(x) = -2/(2x-3)². La composition permet ainsi de redémontrer la dérivée de l'inverse d'une fonction au lieu de l'apprendre par cœur.
  • k(x) = cos(3x + pi/4) donne k'(x) = -3 sin(3x + pi/4). La formule (cos(u))' = -u' × sin(u) est ici indispensable.

Exercice 2 : L'éclairage d'un poste de travail (5 points)

Ce deuxième exercice est un problème d'application concret qui modélise l'éclairement d'un projecteur à LED. La fonction étudiée est I(d) = 900 / (d+1)², où d représente la distance en mètres. Cet exercice permet de mobiliser les compétences de dérivation dans un contexte réaliste, incluant l'étude des variations et la résolution d'une équation.

• Question 1 : Un calcul d'images donne I(0) = 900 lux et I(5) = 25 lux. Quand d + 1 est multiplié par 6, l'éclairement est divisé par 36 : c'est la décroissance en carré inverse.
• Question 2 : Il est demandé de réécrire la fonction sous la forme I(d) = 900 × (d+1)^(-2) afin de bien identifier la structure de fonction composée, puis de calculer la dérivée. Le résultat attendu est I'(d) = -1800 / (d+1)³.
• Question 3 : Comme (d+1)³ est strictement positif pour d >= 0, la dérivée est négative et la fonction I est strictement décroissante. L'interprétation physique est simple : plus on éloigne le projecteur, moins le poste est éclairé.
• Question 4 : La norme impose au moins 100 lux. On résout I(d) = 100, ce qui se ramène à (d+1)² = 9, soit d = 2 puisque d >= 0. La décroissance de I permet de conclure que la distance maximale d'installation du projecteur est de 2 mètres.

Exercice 3 : Un taux de variation en Python (5 points)

Cet exercice relie le nombre dérivé à son approche par le taux de variation, à travers un script Python qui calcule le taux de variation de f(x) = (3x+1)² entre 1 et 1 + h pour des valeurs de h de plus en plus petites. Il s'agit de lier le calcul algébrique à l'informatique.

• Question 1 & 2 : L'élève doit reconnaître que la fonction `taux(a, h)` renvoie le taux de variation de f entre a et a + h, et retrouver la première valeur affichée : f(2) - f(1) = 49 - 16 = 33. Les valeurs suivantes (24,9 ; 24,09 ; 24,009) permettent de conjecturer que f'(1) = 24.
• Question 3 : En posant u(x) = 3x + 1 et v(X) = X², on montre que le taux de variation de u vaut 3 et celui de v entre 4 et 4 + 3h vaut 8 + 3h. Le taux de variation de f s'écrit alors comme un produit : (8 + 3h) × 3 = 24 + 9h. Pour h = 0,01, la valeur exacte est 24,09 ; l'affichage 24.090000000000344 s'explique par les erreurs d'arrondi de la machine.
• Question 4 : La formule de dérivation d'une composée donne f'(x) = 6(3x+1), donc f'(1) = 24, ce qui confirme la conjecture. Le produit 8 × 3 n'est autre que v'(4) × u'(1) : l'exercice fait apparaître la formule de dérivation d'une composée.

Exercice 4 : Une somme qui ne bouge pas (4 points)

Ce dernier exercice est une question ouverte : aucune sous-question n'est posée, et la démarche, les calculs et la rédaction sont évalués. Il s'agit de démontrer, sans aucune formule de trigonométrie et uniquement par la dérivée de fonctions composées, que la fonction S(t) = (sin(t))² + (cos(t))² est constante sur l'ensemble des réels.

• Dériver chaque terme comme une composée : la dérivée de (sin(t))² est 2 sin(t) cos(t), celle de (cos(t))² est -2 sin(t) cos(t).
• En déduire que S'(t) = 0 pour tout réel t : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante.
• Calculer la constante en un point : S(0) = 0² + 1² = 1. On redémontre ainsi la relation (sin(t))² + (cos(t))² = 1, vue en première sur le cercle trigonométrique, par la seule dérivation.