10. Dériver sinus et cosinus

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement, parce que c'est très simple, comment dériver les fonctions sinus et cosinus, qu'elles soient simples ou composées. On se fait ça tout de suite.

Dérivation des fonctions sinus et cosinus

Pour dériver les fonctions sinus et cosinus, retenez simplement que le cosinus est un peu embêtant. En effet, quand vous le dérivez, il va vous donner \(-\sin\). Le sinus, par contre, est cool : quand vous le dérivez, il vous donne \(\cos\). Du coup, quand je dois dériver \(2\sin(x)\), je me souviens que quand j'ai un 2 qui multiplie, comme dans par exemple \(2x^2\), quand je dérive \(2x^2\), je dérive mon \(x^2\), ça me fait \(2x\), et je remets mon 2 devant, ça me fait \(4x\). Autrement dit, quand on a une constante qui est dans une fonction et qu'on veut la dériver, on ne dérive pas cette constante. Donc le 2 du \(\sin(x)\) on va le retrouver dans la dérivée. \(f'(x)\) ça sera deux fois la dérivée de \(\sin(x)\), sauf que la dérivée de \(\sin(x)\) c'est tout simplement \(\cos(x)\). Donc la dérivée de \(2\sin(x)\) c'est \(2\cos(x)\). J'encadre et c'est terminé.

Dérivation des fonctions composées

La dérivée des fonctions composées est légèrement plus complexe. Vous avez les deux formules qui s'affichent là : la dérivée de \(\cos(u)\) c'est \(-u'\sin(u)\) et la dérivée du \(\sin(u)\) c'est \(u'\cos(u)\). Donc, quand je déroule cette histoire, je sais que \(f'(x)\) va s'écrire deux fois la dérivée de \(\cos(3x^2)\). Et pour dériver \(\cos(3x^2)\), je vais dire que ça c'est mon \(u\). Du coup, mon \(u'\) ça va être trois fois la dérivée de \(x^2\), donc \(6x\), et je vais utiliser la formule \(-u'\sin(u)\). Ça va me faire deux fois \(-u'\sin(u)\), donc c'est \(-2 \cdot 3x \cdot \sin(3x^2)\). Et là, j'arrange : deux fois moins 6, ça me fait \(-12x\sin(3x^2)\), et je peux encadrer. C'est aussi simple que ça. On vous a mis des petits exercices en dessous où il faut rentrer des fonctions dérivées. Entraînez-vous et ensuite on passe au tableau de variation. À vous de jouer, vous êtes des champions.