Contrôle Corrigé de Mathématiques : Équations Différentielles (Terminale Spécialité)

Découvrez le corrigé détaillé d'un sujet de contrôle sur le chapitre des équations différentielles, destiné aux élèves de Terminale en spécialité mathématiques. Ce sujet, de type bac, est un problème complet de modélisation qui vous permettra de réviser et de maîtriser plusieurs compétences clés du programme. L'exercice porte sur l'étude de la croissance d'une algue, la posidonie, à l'aide d'une fonction régie par une équation différentielle logistique.

Exercice 1 : Modélisation de la croissance d'une algue (20 points)

Cet exercice propose de modéliser l'évolution de la superficie recouverte par une algue, notée `f(t)`, où `t` est le temps en années. La fonction `f` est solution de l'équation différentielle `(E_1): y' = 0,02 y (15 - y)`, avec la condition initiale `f(0) = 1` hectare.

• Question 1 : Changement de variable

  La première question introduit une fonction auxiliaire `g` définie par `g(t) = \frac{1}{f(t)}`. L'objectif est de montrer que `g` est solution d'une nouvelle équation différentielle, plus simple à résoudre : `(E_2): y' = -0,3 y + 0,02`. Pour y parvenir, il faut :

  1. Calculer la dérivée `g'(t)` en utilisant la formule de la dérivée de l'inverse d'une fonction : `g'(t) = -\frac{f'(t)}{[f(t)]^2}`.
  2. Remplacer `f'(t)` par son expression donnée dans `(E_1)` : `f'(t) = 0,02 f(t) (15 - f(t))`.
  3. Simplifier l'expression obtenue pour `g'(t)` en fonction de `g(t)`. On montre ainsi que `g'(t) = -0,3 g(t) + 0,02`.

  Cette étape est une application directe de la compétence : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle.

• Question 2 : Résolution de l'équation différentielle linéaire

  Il s'agit ici de résoudre l'équation `(E_2): y' = -0,3 y + 0,02`. Cette équation est de la forme `y' = ay + b`, un cas classique du cours. La solution générale est de la forme `y(t) = K e^{at} - \frac{b}{a}`.

  En identifiant `a = -0,3` et `b = 0,02`, on trouve que les solutions de `(E_2)` sont les fonctions `g` définies par `g(t) = K e^{-0,3t} + \frac{1}{15}`, où `K` est une constante réelle. Cette question évalue la compétence : Équations de la forme y'=ay+b : toutes les solutions.

• Question 3 : Détermination de l'expression de f(t)

  Pour trouver l'expression unique de `f(t)`, on procède en deux temps :

  1. Déterminer la constante `K` grâce à la condition initiale. On sait que `f(0) = 1`, donc `g(0) = \frac{1}{f(0)} = 1`. En utilisant l'expression de `g(t)`, on a `g(0) = K e^0 + \frac{1}{15} = K + \frac{1}{15}`. On en déduit que `K = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}`. Cette étape mobilise la compétence : Trouver la valeur de K dans une équation différentielle.
  2. Une fois `K` trouvée, on a l'expression complète de `g(t)`. Comme `f(t) = \frac{1}{g(t)}`, on inverse l'expression pour obtenir `f(t) = \frac{15}{14 e^{-0,3t} + 1}`.

• Question 4 : Calcul de limite et interprétation

  On nous demande d'étudier le comportement de la superficie à long terme, c'est-à-dire de calculer la limite de `f(t)` quand `t` tend vers `+\infty`. On utilise la limite de référence de la fonction exponentielle : `\lim_{t \to +\infty} e^{-0,3t} = 0`. Par opérations sur les limites, on trouve que `\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{15}{14 \times 0 + 1} = 15`. L'interprétation est que la superficie recouverte par l'algue tend à se stabiliser vers une valeur maximale de 15 hectares. Cette question teste la compétence : Limites avec exponentielle.

• Question 5 : Résolution d'inéquation et interprétation

  La dernière question est un problème concret : déterminer au bout de combien de temps la superficie dépassera 14 hectares. Il faut donc résoudre l'inéquation `f(t) > 14` sur `[0; +\infty[`.

  La résolution `\frac{15}{14 e^{-0,3t} + 1} > 14` conduit, après plusieurs manipulations algébriques, à une inéquation avec une exponentielle : `e^{-0,3t} < \frac{1}{196}`. En appliquant la fonction logarithme népérien, on isole `t` pour trouver `t > \frac{\ln(196)}{0,3}`. La valeur approchée est d'environ 17,6 ans. L'interprétation est donc qu'il faudra attendre plus de 17 ans et demi pour que la posidonie recouvre plus de 14 hectares. Cette question valide la compétence : Résolution d'inéquation avec exponentielle et clôture ce sujet complet sur la thématique Équations différentielles et problèmes.