Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Équations Différentielles en Terminale

Ce sujet de mathématiques pour les élèves de Terminale en spécialité maths est entièrement consacré au chapitre des équations différentielles et à leurs applications, mobilisant également des compétences sur la fonction exponentielle et logarithme. Il est composé de quatre exercices variés qui permettent d'évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux et leur mise en œuvre dans des contextes concrets. Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Mots-clés :

• Contrôle corrigé
• Sujet de maths
• Terminale spécialité
• Équations différentielles
• Fonction logarithme
• Fonction exponentielle
• y'=ay+b
• Problème de modélisation

Exercice 1 : Étude de fonction issue d'équations différentielles

Cet exercice de base vise à vérifier la maîtrise des fondamentaux sur les équations différentielles linéaires du premier ordre. Il débute par la résolution de deux équations simples :

• \((E_1) : y' - 2y = 0\), une équation de type \(y' = ay\).
• \((E_2) : y' = y\), une autre équation de la même forme.

Pour chacune, il est demandé de trouver la solution unique vérifiant une condition initiale (\(f_1(0) = 2\) et \(f_2(0) = 1\)). La suite de l'exercice se concentre sur l'étude complète de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = f_1(x) - f_2(x) = 2e^{2x} - e^x\). L'analyse requiert :

• L'étude des variations de \(f\) via le calcul et l'étude du signe de sa dérivée.
• La construction d'un tableau de variations complet, incluant les limites aux bornes.
• La résolution de l'équation \(f(x) = 0\), qui se ramène à une équation du second degré après un changement de variable (\(X=e^x\)) et nécessite l'utilisation du logarithme népérien.
• L'étude de la convexité de la fonction \(f\) en analysant le signe de la dérivée seconde.

Exercice 2 : Modélisation du refroidissement d'un plat (Loi de Newton)

Cet exercice est un problème classique d'application des équations différentielles à la physique, modélisant la loi de refroidissement de Newton. La température d'un plat est modélisée par une fonction \(g\) solution de l'équation différentielle \((E) : y' + 0,04y = 0,8\), qui est de la forme \(y' = ay + b\).

• La première partie consiste à résoudre cette équation : trouver une solution particulière constante, en déduire l'ensemble des solutions, puis déterminer la solution unique \(g(t)\) vérifiant la condition initiale \(g(0) = 100\).
• La seconde partie utilise l'expression de \(g(t)\) pour répondre à des questions concrètes : vérifier une affirmation sur le temps de refroidissement, puis calculer le temps exact pour atteindre une température de 37°C en résolvant une équation avec exponentielle et logarithme.
• Enfin, l'exercice se termine par une question d'algorithmique, demandant d'écrire un programme qui détermine un seuil de temps.

Exercice 3 : Modélisation d'un stimulateur cardiaque

Ce problème, tiré d'un sujet de baccalauréat, modélise la décharge d'un condensateur dans un pacemaker. La tension \(u(t)\) est solution d'une équation différentielle de la forme \(y' = ay\).

• Partie A : Il faut d'abord vérifier les paramètres de l'équation \(y' + 1,25y = 0\), puis trouver la solution unique avec \(u(0) = 5,6\) et étudier ses variations, qui sont prévisibles dans ce contexte physique de décharge.
• Partie B : On s'intéresse au déclenchement d'une impulsion électrique. Il faut calculer la tension de déclenchement, puis résoudre une équation exponentielle (\(u(t) = 2,072\)) pour trouver l'instant \(t\) correspondant. La dernière question consiste à interpréter ce résultat en termes de rythme cardiaque et à le comparer à une norme médicale.

Exercice 4 : Modèles d'évolution de population (Malthus et Verhulst)

Cet exercice aborde la modélisation de la dynamique des populations à travers deux modèles classiques.

• Partie A (Modèle de Malthus) : Ce modèle simple suppose une croissance proportionnelle à la population, menant à une équation de type \(y' = ay\). La tâche est de déterminer les paramètres du modèle (en particulier \(a\)) à partir de données (population initiale et temps de doublement).
• Partie B (Modèle de Verhulst) : Ce modèle logistique plus réaliste, \(y' = ay(M-y)\), est une équation non linéaire. L'étape cruciale est de montrer qu'un changement de variable (\(z = 1/y\)) transforme cette équation en une équation différentielle linéaire de la forme \(z' + Az = B\). Il faut ensuite la résoudre, revenir à la fonction initiale \(g(t)\), l'étudier, et enfin l'utiliser pour déterminer à quel moment une alerte de surpopulation doit être déclenchée.